Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Celobrojna rešenja nejednačine – probni prijemni MATF 2020.

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Celobrojna rešenja nejednačine – probni prijemni MATF 2020.

Postod Petra1511 » Utorak, 23. Jun 2020, 12:46

Probni prijemni ispit MATF – 17. jun 2020.
11. zadatak


11. Broj celobrojnih rešenja nejednačine [inlmath]\displaystyle\sqrt{\frac{x}{x^2-4}}+\sqrt{25-x^2}\ge0[/inlmath] jeste:
[inlmath]A)\;4;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;5;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;7;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;11;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;[/inlmath]beskonačno mnogo.
Za rešenje nisam sigurna (trebalo bi da je [inlmath]5[/inlmath]) ali ja nikako ne mogu da dovedem ovaj zadatak do kraja. [inlmath]\sqrt{25-x^2}[/inlmath] prebacim na drugu stranu, zatim kvadratiram da izgubim korene, onda podvedem sve na zajednički imenilac što je [inlmath]x^2-4[/inlmath], i dobijem ovo:
[dispmath]\frac{x^4-29x^2+x+100}{x^2-4}\ge0[/dispmath] Dakle treba brojilac da mi bude jednak nuli, ali taj polinom ne znam da podelim Bezuovim stavom niti nekako da ga rastavim na činioce.
Da li postoji neki drugi način za rešavanje ovakvih zadataka ili jednostavno neki način da se zaobiđe ova prepreka?
Izvinjavam se zbog Latex-a, prvi put ga koristim...
Poslednji put menjao Daniel dana Sreda, 24. Jun 2020, 09:48, izmenjena 2 puta
Razlog: Korekcija Latexa (dodavanje Latex-tagova)
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Celobrojna rešenja nejednačine – probni prijemni MATF 2020.

Postod Srdjan01 » Utorak, 23. Jun 2020, 13:15

Pozdrav, pokusaj ovako
Prvo odredi domen
[dispmath]x^2-4\ne0\\
\frac{x}{x^2-4}\geq0\\
25-x^2\geq0[/dispmath] Kada uzmes u obzire sve ove slucaje, domen treba da pripada
[dispmath]x\in\left(-2,0\right]\cup\left(2,5\right][/dispmath] S obzirom na to da ova nejednacina uvijek pozitivna ili [inlmath]0[/inlmath], tvrdnja vrijedi za svaki [inlmath]x[/inlmath], rjesenje ti je ujedno i domen.
Poslednji put menjao Srdjan01 dana Utorak, 23. Jun 2020, 13:21, izmenjena samo jedanput
Korisnikov avatar
 
Postovi: 91
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 61 puta

Re: Celobrojna rešenja nejednačine – probni prijemni MATF 2020.

Postod Petra1511 » Utorak, 23. Jun 2020, 13:21

Tako elegantno rešenje, sad deluje tako očigledno. Hvala ti puno na brzom odgovoru :D
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Celobrojna rešenja nejednačine – probni prijemni MATF 2020.

Postod Daniel » Utorak, 23. Jun 2020, 23:51

Petra1511 je napisao:[inlmath]\sqrt{25-x^2}[/inlmath] prebacim na drugu stranu, zatim kvadratiram da izgubim korene,

U tom postupku ti se očigledno potkrala greška, jer kad bismo i krenuli da radimo na taj način, došli bismo do
[dispmath]\sqrt{\frac{x}{x^2-4}}\ge-\sqrt{25-x^2}[/dispmath] Međutim, pošto se kvadriranjem gubi informacija o znaku, pre kvadriranja se mora diskutovati nejednačina uzimajući u obzir predznak leve i desne strane. Pošto je desna strana negativna ili nula, a leva je pozitivna ili nula, odavde vidimo da je leva strana uvek veća ili jednaka od desne strane, tj. da je nejednačina zadovoljena za svako [inlmath]x[/inlmath] (naravno, podrazumeva se da je prethodno određena oblast definisanosti jednačine).
I tu se završava postupak.
Tvoja je greška bila što si sad to kvadrirala, jer si time desnu stranu množila negativnom vrednošću. Zamisli ovakav primer: [inlmath]2>-3[/inlmath]. Ta nejednakost je tačna. Međutim, ako bismo sad to kvadrirali (što je big no-no u ovakvim slučajevima), dobili bismo šta? [inlmath]4>9[/inlmath]. Očigledno netačno. E isto to se desilo i u tvom postupku.

Srdjan01 je napisao:S obzirom na to da ova nejednacina uvijek pozitivna ili [inlmath]0[/inlmath], tvrdnja vrijedi za svaki [inlmath]x[/inlmath], rjesenje ti je ujedno i domen.

Upravo tako, samo da budemo precizni, ne može nejednačina da bude pozitivna ili nula, već je leva strana nejednačine uvek pozitivna ili nula.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8841
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4896 puta
Pohvaljen: 4731 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 8 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 30. Novembar 2021, 16:19 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs