MATEMANIJA

Drugi probni prijemni ispit FON – 20. jun 2019.
12. zadatak

Zdravo svima! Zadatak ide ovako: Proizvod svih realnih rešenja jednačine [inlmath]\displaystyle\sqrt[6]\frac{3}{2}\cdot\sqrt[3]{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{x-\frac{1}{x}}=0[/inlmath] je:
Rešenje je: [inlmath]1[/inlmath]
Zadatak sam pokušao na dva načina, prvi način jeste da izvučem [inlmath]\sqrt{x-\frac{1}{x}}[/inlmath], ali mi to nešto nije išlo pa sam išao na drugi način:
[dispmath]\sqrt[6]{\frac{3}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)^2}=\sqrt[6]{\left(x-\frac{1}{x}\right)^3}[/dispmath][dispmath]\frac{3}{2}\cdot\frac{x^4-2x^2+1}{x^2}=x^3-3x+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^3}[/dispmath][dispmath]-2x^6+3x^5+6x^4-6x^3-6x^2+3x+2=0[/dispmath][dispmath](x+1)(x-1)\left(-2x^4+3x^3+2x^2-3x-2\right)=0[/dispmath] Dalje ne mogu da faktorišem. Onda bi moje rešenje bilo [inlmath]-1[/inlmath], ali to nije tačno
Gde grešim?

Upotrebi smenu:
[dispmath]t=\sqrt[6]{x-\frac{1}{x}}[/dispmath]

Ovako?
[dispmath]\sqrt[6]\frac{3}{2}\cdot t^2=t^3[/dispmath][dispmath]\sqrt[6]\frac{3}{2}=t[/dispmath][dispmath]\sqrt[6]\frac{3}{2}=\sqrt[6]{x-\frac{1}{x}}[/dispmath][dispmath]3x=2x^2-2[/dispmath][dispmath]x_1=-\frac{1}{2}\;\land\;x_2=2[/dispmath] Ali i dalje dobijam [inlmath]-1[/inlmath]

Ovde ti je greška:

miljan1403 je napisao:[dispmath]\sqrt[6]\frac{3}{2}\cdot t^2=t^3[/dispmath][dispmath]\sqrt[6]\frac{3}{2}=t[/dispmath]

Sve si podelio sa [inlmath]t^2[/inlmath] a da prethodno nisi proverio može li [inlmath]t[/inlmath] da bude jednako nuli.

Ispravno bi bilo da si sve prebacio na jednu stranu i odatle izvukao [inlmath]t^2[/inlmath]:
[dispmath]\sqrt[6]\frac{3}{2}\cdot t^2-t^3=0\\
t^2\left(\sqrt[6]\frac{3}{2}-t\right)=0\\
t=0\quad\lor\quad\sqrt[6]\frac{3}{2}-t=0\\
\vdots[/dispmath] Naravno, nemoj zaboraviti ni uslove definisanosti jednačine ([inlmath]x\ne0[/inlmath] i [inlmath]x-\frac{1}{x}\ge0[/inlmath]).

Uspeo sam da ga uradim, hvala vam