MATEMANIJA

Pozdrav!

Odrediti realni parametar [inlmath]m[/inlmath] tako da jednačina ima [inlmath]4[/inlmath] realna i različita rešenja.
[dispmath]x^4+2x^3+mx^2+2x+1=0[/dispmath] Pošto mi je ovaj zadatak bio za domaći u okviru oblasti kvadratna jednačina, odlučila sam da pokušam da je svedem na kvadratnu i onda izračunam kada je diskriminanta te jednačine veća od nule.
Dakle, izraz sam podelila sa [inlmath]x^2[/inlmath], potom se dobije jednačina u kojoj se može izvršiti smena
[dispmath]\frac{1}{x}+x=t[/dispmath] i na osnovu toga se dobija kvadratna jednačina. Međutim, tačno rešenje je navodno [inlmath]m<-6[/inlmath]. Ja ne dobijam to rešenje, tako da mi je bilo koja vrsta pomoći dobrodošla.

Hvala!

Pozdrav, dobro nam došla.

Napiši rešenje koje si dobila. Ideja ti je dobra, pretpostavljam da si prilikom uvođenja smene po automatizmu napisala da je [inlmath]t^2=x^2+\frac{1}{x^2}[/inlmath] što nije tačno. Izvinjavam se ako nisi, ovo je najčešća greška u ovom tipu zadatka. Zato bih te zamolio, baš kao što to kaže i naš Pravilnik, da napišeš svoj postupak, pa da vidimo gde je greška.

Hvala na dobrodošlici.
Dakle, nakon deljenja sa [inlmath]x^2[/inlmath] dobija se sledeće:
[dispmath]x^2+\frac{1}{x^2}+2\left(x+\frac{1}{x}\right)+m=0[/dispmath] Uvodim smenu
[dispmath]x+\frac{1}{x}=t\\
x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2[/dispmath] E, sada dobijam sledeću jednačinu:
[dispmath]t^2+2t+m-2=0\\
D=4-4(m-2)\\
D=12-4m[/dispmath] Sada pronalazim kada je [inlmath]D>0[/inlmath]
[dispmath]12-4m>0\\
4m<12\\
m<3[/dispmath] Eto, to bi bio moj postupak.

To da postoje realna i različita rešenja [inlmath]t_1[/inlmath] i [inlmath]t_2[/inlmath] (gde je [inlmath]t=\frac{1}{x}+x[/inlmath]) jeste potreban ali ne i dovoljan uslov da bi zadati polinom imao četiri realna i različita rešenja. Npr. ako je [inlmath]x=i[/inlmath] neka od nula polinoma, tada će biti [inlmath]t=\frac{1}{x}+x=\frac{1}{i}+i=-i+i=0[/inlmath], tj. [inlmath]t[/inlmath] će biti realno iako nisu sve nule polinoma realne.

[inlmath]m<-6[/inlmath] jeste tačno rešenje.

U redu. Da li mi možeš dati neke početne naznake kako da dođem do tačnog rešenja?

Nakon postavljanja uslova da kvadratna jednačina po [inlmath]t[/inlmath] ima realna i različita rešenja, odredi vrednosti tih rešenja ([inlmath]t_1[/inlmath] i [inlmath]t_2[/inlmath]), a zatim vrati smenu, tj. [inlmath]\frac{1}{x}+x[/inlmath] izjednači s tim rešenjima po [inlmath]t[/inlmath], a zatim postavi uslov da su ta rešenja po [inlmath]x[/inlmath] realna i različita.

Hvala puno!