MATEMANIJA

Drugi probni prijemni ispit FON – 25. jun 2020.
9. zadatak

9. Proizvod svih vrednosti realnog parametra [inlmath]m[/inlmath], za koje jednačina [inlmath]2x+\frac{m^2-1}{x}=1[/inlmath] ima tačno jedno rešenje, jednak je:
Tačno rešenje je [inlmath]9\over8[/inlmath]
Ovo sam radila tako što sam pomnožila sve sa [inlmath]x[/inlmath] (uz uslov da bude različit od [inlmath]0[/inlmath]), i dobila jednačinu
[dispmath]2x^2-x+m^2-1=0[/dispmath] Da bi postojalo tačno jedno rešenje, diskriminanta treba da bude jednaka nuli, tj.
[dispmath]1-4\cdot2\cdot\left(m^2-1\right)=0[/dispmath] Odavde dobijam da je
[dispmath]m^2=\frac{9}{8}[/dispmath] što znači da je [inlmath]m_1=-\frac{3}{\sqrt8}[/inlmath] i [inlmath]m_2=\frac{3}{\sqrt8}[/inlmath]. Dakle, moje rešenje je ispalo [inlmath]-\frac{9}{8}[/inlmath].
Zaista ne razumem da li su oni uzeli [inlmath]m^2[/inlmath] kao rešenje, što mi nema smisla, ili sam nesto značajno promašila. I dalje, sigurna sam da postoji jedno barem negativno rešenje, ali nikako ne vidim šta mi je promaklo.
P.S. Ovo mi je prvi post, potrudila sam se da poštujem sva pravila

Ovaj zadatak krije u sebi jednu opasnu zamku.
Da sad ne otkrivam sve, samo ću reći da jednačina može imati jedno rešenje i onda kada je – linearna.

Ovaj zadatak je neverovatna zamka.

Tebi se trazi da jednacina ima 1 resenje, i u redu je da si radila preko [inlmath]D=0[/inlmath]

Ali ono sto je fora u ovom zadatku jeste uslov [inlmath]x\ne0[/inlmath]
Da li bi onda diskriminanta mogla biti veca od nule tj. da jednacina ima 2 razlicita resenja od kojih ce jedno resenje biti [inlmath]x=0[/inlmath]??? Eto ti mali hint necu da ti radim do kraja ako nije neophodno

Sad shvatam otprilike... [inlmath]m[/inlmath] moze biti i [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]... Barem znam na šta još da obraćam pažnju. Hvala!

marija24 je napisao:Ovo sam radila tako što sam pomnožila sve sa [inlmath]x[/inlmath] (uz uslov da bude različit od [inlmath]0[/inlmath]), i dobila jednačinu
[dispmath]2x^2-x+m^2-1=0[/dispmath]

Ako trazis korene jednacine
[dispmath]x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1-8\left(m^2-1\right)}}{4}[/dispmath] Odavde ces dobiti 2 resenja koja glase
[dispmath]x=\frac{1+\sqrt{9-8m^2}}{4}\;\lor\;x=\frac{1-\sqrt{9-8m^2}}{4}[/dispmath] E sad ako uvrstis [inlmath]x=0[/inlmath] u obe mogucnost dobices
[dispmath]\sqrt{9-8m^2}=-1\;\lor\;\sqrt{9-8m^2}=1[/dispmath] Koren ne moze biti [inlmath]-1[/inlmath] pa zakljucujes da
[dispmath]\sqrt{9-8m^2}=1\\
9-8m^2=1\\
m^2=1\\
\enclose{box}{m=-1}\;\lor\;\enclose{box}{m=1}[/dispmath] Da li je sada jasno

Jasno! Hvala puno

@Emotivac, meni nije baš sasvim jasno tvoje objašnjenje, budući da u samom startu treba postaviti uslov da je [inlmath]x\ne0[/inlmath], a ti upravo tražiš vrednosti [inlmath]m[/inlmath] na osnovu [inlmath]x=0[/inlmath], za koje jednačina nije definisana?

Moja sugestija se odnosila na slučaj da se ova naša jednačina svede na linearnu (i da, samim tim, ima jedno rešenje po [inlmath]x[/inlmath]). To će se desiti kada je sabirak [inlmath]\frac{m^2-1}{x}[/inlmath] jednak nuli (što će važiti za [inlmath]m=\pm1[/inlmath]), i tada ćemo imati linearnu jednačinu [inlmath]2x=1[/inlmath], koja, razume se, ima jedno rešenje.

Slična zamka se pojavljuje i u ovom zadatku, pa preporučujem da i na njega bacite pogled.

Pa gledaj ovako, ako radis na nacin da jedacina ima 2 razlicita resenje ([inlmath]D>0[/inlmath] nego me je mrzelo to da ispisuje a napomenuo sam joj u postu pre toga. Ti moras da imas 2 razlicita resenja.

E sad ako se u zadatku trazi da jednacina ima 1 resenja je l se slazes sa mnom da ce to biti zadovoljeno kada je [inlmath]x_1=0\;\land\;x_2\ne0[/inlmath].

I ti uzmes da "namestis" da jedno resenje kvadratne bude [inlmath]0[/inlmath] jer to znaci da ce ono morati da otpadne i da ce zapravo resenje jednacine biti samo onaj drugi broj sto nije [inlmath]0[/inlmath] tj. jednacina ce imati samo 1 resenje.

Ti ces dobiti 2 vrednosti parametra [inlmath]m[/inlmath] i oba zadovoljavaju [inlmath]D>0[/inlmath] a s obzirom da [inlmath]D\ne0[/inlmath] nemoguce je da ces dobiti da su oba resenja ista.

Mislim ovako sam uradio i iz prve dobio tacno resenje. Nadam se da razumes kako sam razmisljao.

Ne kapiram i dalje kako [inlmath]x_1 = 0[/inlmath] uopste moze da vazi kada ne mozemo da delimo nulom?