MATEMANIJA

Da li bi mi mogli da riješite nejednačinu koja glasi [dispmath]\sqrt{2x^2-5x+2} > x-2[/dispmath]
I kako mislite u nove teme ??

indira-aa je napisao:I kako mislite u nove teme ??

Evo ovako mislim. Sad je prebačen u novu temu.

Biće rešenje uskoro.

Aha aha, znači samo upišem novi naziv teme, ja mislila da samo moram te teme koje su tu.. izvini nova sam pa zato,, snalazim se polako učim ahhaha,, očekujem rješenje i hvala

Hehe, opušteno...

je li rješenje ispadne [inlmath]x\in\left<-\infty,-1\right]\cup\left[2,+\infty\right>[/inlmath] ?

blake je napisao:je li rješenje ispadne [inlmath]x\in\left<-\infty,-1\right]\cup\left[2,+\infty\right>[/inlmath] ?

Nije :/

To sam i ja dobio, a Daniel da je [inlmath]x\in\left(-\infty,\frac{1}{2}\right]\cup\left(2,+\infty\right)[/inlmath], sto je SIGURNO tacno resenje. E sad, samo jos da vidim kako se dobija to :/

On je otisao, stize za oko 1h vremena.

Probacu da sto pre uradim i postavim zadatak.

Indira, izvini za cekanje! :/

EDIT:

Stize resenje za 5min, uradio sam napokon

Aha hvala vam, jedva čekam izradu zadatka, uradila sam i ja ali nisam sigurna, imam kišu nekakvih rješenja hahaha

indira-aa je napisao:Aha hvala vam, jedva čekam izradu zadatka, uradila sam i ja ali nisam sigurna, imam kišu nekakvih rješenja hahaha

Hahah

Evo,

http://imageshack.us/f/24/matishtk.jpg/

Da bih sto pre poslao resenje, postavljam ovo skenirano, jer bi pisanje zadatka jos dosta potrajalo

Ako je neki korak nejasan, javi

P.S. Nadam se da mi je lep rukopis?

ja ne znam kako mogu zaboravljat način rješavanja ovakvih zadataka....daj jooooooš grrrrr

VAZNO!

Na kraju u resenju nije PRESEK nego UNIJA!

Pogresan znak sam stavio. Ostalo je O.K. (valjda)

PocetnikSRB je napisao:Ostalo je O.K. (valjda)

Jeste.

Dakle, skontali ste u čemu je bio zez – prilikom kvadriranja se gubi informacija o predznaku izraza – ono što je bilo minus postaje plus, ali i ono što je bilo plus, i dalje je plus... Zbog toga je neophodno da se odvojeno diskutuju slučajevi kada su izrazi koji se kvadriraju pozitivni i kada su negativni, pa tek onda da se krene s kvadriranjem.

Hvala vam puno ne treba se patiti pisati to, samo tako sliku i et, paa sad da se pročitati hahahah..aa hvala još jednom, predobri ste svi.. aa ja sam tako dobila samo sam zaboravila kod [inlmath]x-2<0[/inlmath] pa odmah drukcije haha..aa možete li mi reci ovo zadnje rjesenje sto pise to je krajnje rjesenje nejednacine jel tako?? [inlmath]\left(-\infty,\frac{1}{2}\right]\cup\left(2,+\infty\right)[/inlmath]??

Ii mozete li mi pojasniti kad se stavljaju uglate zagrade a kad male, to mi je uvijek problem, oduzima mi bodove bezveze zbog toga, da je bar sta drugo nebi zalila hahaha

indira-aa je napisao:Hvala vam puno ne treba se patiti pisati to, samo tako sliku i et, paa sad da se pročitati hahahah..aa hvala još jednom, predobri ste svi.. aa ja sam tako dobila samo sam zaboravila kod [inlmath]x-2<0[/inlmath] pa odmah drukcije haha..aa možete li mi reci ovo zadnje rjesenje sto pise to je krajnje rjesenje nejednacine jel tako?? [inlmath]\left(-\infty,\frac{1}{2}\right]\cup\left(2,+\infty\right)[/inlmath]??

Da, da. To je resenje

Ii mozete li mi pojasniti kad se stavljaju uglate zagrade a kad male, to mi je uvijek problem, oduzima mi bodove bezveze zbog toga, da je bar sta drugo nebi zalila hahaha

Kada imas znak VECE-JEDNAKO i MANJE-JEDNAKO stavljas uglastu zagradu, a kad imas samo znak VECE ili MANJE stavljas obicnu

Ta uglasta zagrada znaci da u neki skup brojeva ukljucujes i taj broj ispred (ili iza) koga stoji uglasta zagrada.
Tako je, na primer u tvom zadatku u resenju kod [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]. To znaci da je i [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] ukljucena u rezultat.

Kada stoji obicna zagrada, u skup ukljucujes sve sto je do tog broja, ali NE i taj broj.
Takav slucaj je sa, na primer, brojem [inlmath]2[/inlmath] u resenju tvog zadatka. Znaci, [inlmath]2[/inlmath] se NE racuna, ali se racuna sve sto je, bar malo, vece od njega.

PocetnikSRB je napisao:Kada imas znak VECE-JEDNAKO i MANJE-JEDNAKO stavljas uglastu zagradu, a kad imas samo znak VECE ili MANJE stavljas obicnu

Ta uglasta zagrada znaci da u neki skup brojeva ukljucujes i taj broj ispred (ili iza) koga stoji uglasta zagrada.
Tako je, na primer u tvom zadatku u resenju kod [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]. To znaci da je i [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] ukljucena u rezultat.

Kada stoji obicna zagrada, u skup ukljucujes sve sto je do tog broja, ali NE i taj broj.
Takav slucaj je sa, na primer, brojem [inlmath]2[/inlmath] u resenju tvog zadatka. Znaci, [inlmath]2[/inlmath] se NE racuna, ali se racuna sve sto je, bar malo, vece od njega.

Aha aha hvala hvala.. znala sam za to da je kad stoji uglata zagrada taj broj ukljucen i to, ali nisam znala kad staviti koju, znam da kod [inlmath]-\infty[/inlmath] i [inlmath]+\infty[/inlmath] uvijek je obicna zagrada jel tako..

jel tako

Tako je

Oko tih zagrada: Sve je upravo ovako kako je PocetnikSRB napisao, samo bih dopunio i to, da se intervali koji su unutar uglastih zagrada zovu zatvoreni intervali, a intervali koji su unutar malih (oblih) zagrada zovu otvoreni intervali. Postoje još i poluotvoreni intervali, npr.
[inlmath]x\in\left(1,5\right][/inlmath] kada je [inlmath]1<x\le 5[/inlmath]
ili
[inlmath]x\in\left[-2,3\right)[/inlmath] kada je [inlmath]-2\le x<3[/inlmath]

Pozz

1.
[dispmath]\frac{2x+1}{1-x+x^2-x^3}\quad\ge 0[/dispmath]
2.
[dispmath]\frac{\sqrt x}{2\sqrt x-1}>\frac{1}{\sqrt x}[/dispmath]
Ako more s postupkom...Rješenje: 1. [inlmath]x\in\left[-\frac{1}{2},1\right>[/inlmath] i 2. [inlmath]x>\frac{1}{4}\setminus\{1\}[/inlmath]

blake je napisao:1.
[dispmath]\frac{2x+1}{1-x+x^2-x^3}\quad\ge 0[/dispmath]

Polinom iz imenioca možemo razložiti na sledeći način:
[dispmath]1-x+x^2-x^3=1-x+x^2\left(1-x\right)=\left(1-x\right)\left(1+x^2\right)[/dispmath]
pa nejednačina postaje
[dispmath]\frac{2x+1}{\left(1-x\right)\left(1+x^2\right)}\ge 0[/dispmath]
Ova nejednakost će biti ispunjena kada je:
1) brojilac veći ili jednak od nule, a imenilac strogo veći od nule;
2) brojilac manji ili jednak od nule, a imenilac strogo manji od nule.
(Naravno da imenilac ne sme biti jednak nuli, jer bi to onda bilo deljenje nulom.)

Faktor [inlmath]\left(1+x^2\right)[/inlmath] u imeniocu je uvek pozitivan, tako da on ne utiče na ovu nejednakost, pa ga možemo i izostaviti, nakon čega se nejednakost svodi na
[dispmath]\frac{2x+1}{1-x}\ge 0[/dispmath]
Slučaj [inlmath]\left.1\right)[/inlmath]
[dispmath]2x+1\ge 0\quad\land\quad 1-x>0[/dispmath]
[dispmath]x\ge -\frac{1}{2}\quad\land\quad x<1[/dispmath]
[dispmath]-\frac{1}{2}\le x<1[/dispmath]

Slučaj [inlmath]\left.2\right)[/inlmath]
[dispmath]2x+1\le 0\quad\land\quad 1-x<0[/dispmath]
[dispmath]x\le -\frac{1}{2}\quad\land\quad x>1[/dispmath]
Ovaj slučaj nema rešenja.

Skup rešenja ove nejednačine jednak je uniji rešenja slučaja [inlmath]\left.1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left.2\right)[/inlmath], a to je
[dispmath]-\frac{1}{2}\le x<1[/dispmath]

blake je napisao:2.
[dispmath]\frac{\sqrt x}{2\sqrt x-1}>\frac{1}{\sqrt x}[/dispmath]

Pre svega imamo uslov da imenioci moraju biti različiti od nule, tj.

[inlmath]2\sqrt x-1\ne 0\quad\Rightarrow\quad x\ne\frac{1}{4}[/inlmath]
[inlmath]\sqrt x\ne 0\quad\Rightarrow\quad x\ne 0[/inlmath]

Imamo i uslov da potkorena veličina mora biti veća ili jednaka od nule:

[inlmath]x\ge 0[/inlmath]

Pa će presek ova tri uslova biti:

[inlmath]0<x<\frac{1}{4}\quad\lor\quad x>\frac{1}{4}[/inlmath]

Pošto korena funkcija po definiciji nikad nije negativna, možemo obe strane pomnožiti sa [inlmath]\sqrt x[/inlmath] a da time ne narušimo nejednakost:
[dispmath]\frac{\left(\sqrt x\right)^2}{2\sqrt x-1}>1[/dispmath]
Možemo, radi jednostavnosti, uvesti smenu [inlmath]t=\sqrt x[/inlmath]:
[dispmath]\frac{t^2}{2t-1}>1[/dispmath]
pri čemu znamo da je [inlmath]t>0[/inlmath].

Sada treba obe strane da pomnožimo imeniocem, ali, zbog moguće promene znaka nejednakosti u slučaju da je imenilac negativan, moramo posmatrati odvojeno dva slučaja:

Slučaj [inlmath]\left.1\right)\quad 2t-1>0\quad\Rightarrow\quad t>\frac{1}{2}[/inlmath]
(Ovde smo pisali strogu nejednakost a ne [inlmath]\ge[/inlmath] jer smo još u startu postavili uslov da imenilac ne sme biti jednak nuli.)

Pošto je imenilac pozitivan, množenjem i leve i desne strane imeniocem ne menja se znak nejednakosti:
[dispmath]t^2>2t-1[/dispmath]
[dispmath]t^2-2t+1>0[/dispmath]
[dispmath]\left(t-1\right)^2>0[/dispmath]
Ova nejednakost je ispunjena uvek, osim kada je [inlmath]t=1[/inlmath]. Rešenje slučaja [inlmath]\left.1\right)[/inlmath] dobijemo kada nađemo presek njegovog uslova [inlmath]t>\frac{1}{2}[/inlmath] i dobijenog rezultata [inlmath]t\in\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}[/inlmath]:
[dispmath]\frac{1}{2}<t<1\quad\lor\quad t>1[/dispmath]

Slučaj [inlmath]\left.2\right)\quad 2t-1<0\quad\Rightarrow\quad 0<t<\frac{1}{2}[/inlmath]

Pošto je imenilac negativan, množenjem i leve i desne strane imeniocem menja se znak nejednakosti:
[dispmath]t^2<2t-1[/dispmath]
[dispmath]t^2-2t+1<0[/dispmath]
[dispmath]\left(t-1\right)^2<0[/dispmath]
Kao što vidimo, ova nejednakost nema rešenja, tako da ni slučaj [inlmath]\left.2\right)[/inlmath] neće imati rešenja.

Unija rešenja slučaja [inlmath]\left.1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left.2\right)[/inlmath] će biti
[dispmath]\frac{1}{2}<t<1\quad\lor\quad t>1[/dispmath]
Sada vratimo smenu i imaćemo
[dispmath]\frac{1}{2}<\sqrt x<1\quad\lor\quad\sqrt x>1[/dispmath]
Ovde su sve veličine pozitivne, tako da sve možemo kvadirati, ne narušavajući nejednakost:
[dispmath]\frac{1}{4}<x<1\quad\lor\quad x>1[/dispmath]
Kada nađemo presek ovog rezultata i uslova koje smo u startu postavili, [inlmath]0<x<\frac{1}{4}\:\lor\: x>\frac{1}{4}[/inlmath], konačno rešenje će biti
[dispmath]\frac{1}{4}<x<1\quad\lor\quad x>1[/dispmath]

Daniel je napisao:(...)

Faktor [inlmath]\left(1+x^2\right)[/inlmath] u imeniocu je uvek pozitivan, tako da on ne utiče na ovu nejednakost, pa ga možemo i izostaviti, nakon čega se nejednakost svodi na
[dispmath]\frac{2x+1}{1-x}\ge 0[/dispmath]
(...)
Slučaj [inlmath]\left.2\right)[/inlmath]
[dispmath]2x+1\le 0\quad\land\quad 1-x<0[/dispmath]
[dispmath]x\le -\frac{1}{2}\quad\land\quad x>1[/dispmath]
Ovaj slučaj nema rešenja.

Je li razlog k tome šta se trebaju sijeći,a ne sijeku se?
Jer bi ja tu stavia [inlmath]x\in\left<-\infty,-\frac{1}{2}\right]\cup\left<1,+\infty\right>[/inlmath]

blake je napisao:

Daniel je napisao:(...)
Ovaj slučaj nema rešenja.

Je li razlog k tome šta se trebaju sijeći,a ne sijeku se?

Da, upravo je to razlog.

blake je napisao:Jer bi ja tu stavia [inlmath]x\in\left<-\infty,-\frac{1}{2}\right]\cup\left<1,+\infty\right>[/inlmath]

A, pa ne smeš nikako staviti uniju ako smo imali konjunkciju (tj. znak [inlmath]\land[/inlmath]).
Konjunkciji (znaku [inlmath]\land[/inlmath]) odgovara presek (kao u ovom slučaju), a disjunkciji (znaku [inlmath]\lor[/inlmath]) odgovara unija.

Ovo mi stvarno loše ide

1. Skup rješenja nejednadžbe [dispmath]\frac{2x-1}{x^2-1}\ge 1[/dispmath] je:
prvo šta postavim tu je da u nazivniku [inlmath]x^2-1\ne 0\;\Rightarrow\;x\ne 1[/inlmath]
Pa sam [inlmath]1[/inlmath] premistia na livu stranu ali sve to neću pisat jer mi ne ispada rj: [inlmath]x\in\left<-\infty,0\right>\cup\left<1,2\right>[/inlmath]


2. Ako je uređeni par [inlmath](x,y)[/inlmath] rješenje jednadžbi: [inlmath]2x+y-1=0[/inlmath] i [inlmath]x-y+a=0[/inlmath]
tada je [inlmath]|x-y|<3[/inlmath] za svaki [inlmath]a[/inlmath] iz intervala:

Treba dobiti [inlmath]\left<-3,3\right>[/inlmath]

blake je napisao:prvo šta postavim tu je da u nazivniku [inlmath]x^2-1\ne 0\;\Rightarrow\;x\ne 1[/inlmath]

To je OK.

blake je napisao:Pa sam [inlmath]1[/inlmath] premistia na livu stranu

Pa ne, ne premeštaš [inlmath]1[/inlmath] na levu stranu, što bi to činio? Mislim, možeš, ali je to nepotrebno komplikovanje. Jednostavnije je imenilac [inlmath]\left(x^2-1\right)[/inlmath] premestiti na desnu stranu, samo prethodno moramo da diskutujemo slučajeve kada je imenilac negativan i kada je pozitivan.

blake je napisao:jer mi ne ispada rj: [inlmath]x\in\left<-\infty,0\right>\cup\left<1,2\right>[/inlmath]

To i nije tačno rešenje, a evo ti i kontraprimer: za [inlmath]x=-2[/inlmath], što je slučaj koji zadovoljava to rešenje koje si napisao, ako tu vrednost uvrstimo u nejednačinu, dobijemo da ona nije zadovoljena.
Rešenje koje treba da se dobije je [inlmath]x\in\left(-1,0\right]\cup\left(1,2\right][/inlmath]. Da li to rešenje i ti dobiješ?

blake je napisao:2. Ako je uređeni par [inlmath](x,y)[/inlmath] rješenje jednadžbi: [inlmath]2x+y-1=0[/inlmath] i [inlmath]x-y+a=0[/inlmath]
tada je [inlmath]|x-y|<3[/inlmath] za svaki [inlmath]a[/inlmath] iz intervala:

Treba dobiti [inlmath]\left<-3,3\right>[/inlmath]

Prvo nađeš rešenja ovog sistema jednačina, mislim da to nije problem.
Ako te dve jednačine sabereš, dobićeš [inlmath]3x-1+a=0[/inlmath], tj. [inlmath]x=\frac{1-a}{3}[/inlmath].
Sada [inlmath]y[/inlmath] možeš naći ili tako što ćeš dobijenu vrednost [inlmath]x[/inlmath] uvrstiti u jednu od jednačina, ili tako što ćeš od prve jednačine oduzeti drugu jednačinu pomnoženu sa [inlmath]2[/inlmath]. Dobije se [inlmath]y=\frac{1+2a}{3}[/inlmath].
Pa kad smo odredili [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] u zavisnosti od [inlmath]a[/inlmath], nejednakost postaje:
[dispmath]\left|x-y\right|<3[/dispmath]
[dispmath]\left|\frac{1-a}{3}-\frac{1+2a}{3}\right|<3[/dispmath]
[dispmath]\left|\frac{-3a}{3}\right|<3[/dispmath]
[dispmath]\left|\left(-1\right)\cdot a\right|<3[/dispmath]
[dispmath]\left|\left(-1\right)\right|\cdot\left|a\right|<3[/dispmath]
[dispmath]\left|a\right|<3[/dispmath]
Intuitivno je jasno da je rešenje ove nejednačine [inlmath]-3<a<3[/inlmath], tj. [inlmath]a\in\left(-3,3\right)[/inlmath]. Međutim, ukoliko se striktno traži da se to odradi postupno, evo i postupka:

slučaj [inlmath]\left.1\right)\quad a<0\quad\Rightarrow\quad\left|a\right|=-a[/inlmath]
[dispmath]-a<3[/dispmath]
[dispmath]a>-3[/dispmath]
što u preseku s pretpostavkom [inlmath]a<0[/inlmath] daje [inlmath]-3<a<0[/inlmath] i to je rešenje slučaja [inlmath]\left.1\right)[/inlmath]

slučaj [inlmath]\left.2\right)\quad a\ge 0\quad\Rightarrow\quad\left|a\right|=a[/inlmath]
[dispmath]a<3[/dispmath]
što u preseku s pretpostavkom [inlmath]a\ge 0[/inlmath] daje [inlmath]0\le a<3[/inlmath] i to je rešenje slučaja [inlmath]\left.2\right)[/inlmath]

Konačno rešenje dobijamo kao uniju rešenja ova dva slučaja, tj. [inlmath]-3<a<0\:\lor\: 0\le a<3[/inlmath], a to je [inlmath]-3<a<3[/inlmath], tj. [inlmath]a\in\left(-3,3\right)[/inlmath].

Daniel je napisao:

blake je napisao:prvo šta postavim tu je da u nazivniku [inlmath]x^2-1\ne 0\;\Rightarrow\;x\ne 1[/inlmath]

To je OK.

Ček malo... Nije OK!
Sad pogledah ponovo i ne znam kako mi je malopre promaklo, ali iz [inlmath]x^2-1\not=0[/inlmath] ne sledi samo [inlmath]x\ne 1[/inlmath], već i [inlmath]x\ne -1[/inlmath].

U vezi 1.
Krivo prepisano rješenje*
Piše točno tako kako si ti napisa...
[dispmath]\frac{2x-1}{x^2-1}\ge 1[/dispmath]
1. slučaj
[dispmath]x^2-1>0[/dispmath]
[dispmath]x^2>1[/dispmath]
[dispmath]\underline{x\in\mathbb{R}\setminus [-1,1]}[/dispmath]
Množim cijelu nejednadžbu s [inlmath]x^2-1[/inlmath]
[dispmath]2x-1\ge x^2-1[/dispmath]
[dispmath]2x-x^2\ge 0[/dispmath]
[dispmath]x(2-x)\ge 0[/dispmath]
[dispmath]\underline{x\ge 0}\qquad\mbox{i}\qquad -x\ge -2\;\Rightarrow\;\underline{x\le 2}[/dispmath]
Pa stavim da je rješenje presjek ova dva dobivena [inlmath]x[/inlmath]-a s tim da izostavim brojeve iz intervala [inlmath][-1,1][/inlmath]
[inlmath]x\in\left<1,2\right][/inlmath]

2. slučaj
[dispmath]x^2-1<0[/dispmath]
[dispmath]x^2<1[/dispmath]
[dispmath]\underline{x\in\left<-1,1\right>}[/dispmath]
Radi neg. vrijednosti faktora s kojim množim mijenja se znak nejednadžbe
[dispmath]2x-1\le x^2-1[/dispmath]
[dispmath]2x-x^2\le 0[/dispmath]
[dispmath]x(2-x)\le 0[/dispmath]
[dispmath]\underline{x\le 0}\qquad\mbox{i}\qquad -x\le -2\;\Rightarrow\;\underline{x\ge 2}[/dispmath]
Presjek ova dva [inlmath]x[/inlmath]-a ne postoji, ali dio jednog od njih je unutar intervala [inlmath]\left<-1,1\right>[/inlmath] koji stoji kao uvjet 2. slučaja
Pa će rješenje bit [inlmath]x\in\left<-1,0\right][/inlmath]

Skup ili unija 1. i 2. slučaja će bit [inlmath]x\in\left<-1,0\right]\cup\left<1,2\right][/inlmath]

Sad sam dobia to rješenje, ali me opet buni kako sam ovo napisa pošto u je u prvom slučaja rješenje presjek koji zadovoljava uvjet, a u drugom nema presjeka, ali svejedno imamo rješenje unutar uvjeta
A možda je sve krivo i stvarno je kasno

Do ovog dela je u redu:

blake je napisao:[dispmath]x(2-x)\ge 0[/dispmath]
[dispmath]\underline{x\ge 0}\qquad\mbox{i}\qquad -x\ge -2\;\Rightarrow\;\underline{x\le 2}[/dispmath]

Ali ovde si prevideo da su moguća dva slučaja (kad su oba faktora pozitivna ili oba negativna), a ti si analizirao samo jedan (kad su oba pozitivna).
1. slučaj: [inlmath]x\ge 0\quad\land\quad 2-x\ge 0\quad[/inlmath] (taj slučaj si ti razmatrao)
2. slučaj: [inlmath]x\le 0\quad\land\quad 2-x\le 0\quad[/inlmath] (ovaj slučaj si izostavio; za taj slučaj bi se, ovom prilikom, dobilo da nema rešenja, ali svejedno, uvek mora sve to da se proveri)

A u drugom slučaju,

blake je napisao:[dispmath]x(2-x)\le 0[/dispmath]
[dispmath]\underline{x\le 0}\qquad\mbox{i}\qquad -x\le -2\;\Rightarrow\;\underline{x\ge 2}[/dispmath]

napravio si grešku postavljajući oba faktora da su manji od nule. Kao što sam i napisao kod 1. slučaja, kad su oba faktora negativna, njihov proizvod će biti pozitivan. Uslov da bi proizvod bio negativan (ono što nama ovde treba) jeste taj, da jedan faktor bude negativan, a drugi pozitivan. Znači, ovde treba razmatrati sledeća dva slučaja:
1. slučaj: [inlmath]x\ge 0\quad\land\quad 2-x\le 0\quad[/inlmath]
2. slučaj: [inlmath]x\le 0\quad\land\quad 2-x\ge 0\quad[/inlmath]

blake je napisao:Presjek ova dva [inlmath]x[/inlmath]-a ne postoji, ali dio jednog od njih je unutar intervala [inlmath]\left<-1,1\right>[/inlmath] koji stoji kao uvjet 2. slučaja
Pa će rješenje bit [inlmath]x\in\left<-1,0\right][/inlmath]

Ne! Da sad zanemarimo to što je zbog prethodnih grešaka ovde dobijen pogrešan međurezultat, ali ovakav rezon ni inače nije ispravan. Ako ovaj presek ne postoji, tj. ako je prazan skup, onda nema šta dalje da tražimo njegov presek s intervalom koji imamo kao uslov 2. slučaja. Presek praznog skupa i bilo kog skupa je uvek prazan skup.
Ili, da kažem to ovako: prvo tražiš presek ta dva rešenja koja si dobio, pa tek kad si našao taj presek, onda tražiš presek tog njihovog preseka s intervalom koji imamo kao uslov.

blake je napisao:Skup ili unija 1. i 2. slučaja će bit [inlmath]x\in\left<-1,0\right]\cup\left<1,2\right][/inlmath]

Sad sam dobia to rješenje, ali me opet buni kako sam ovo napisa pošto u je u prvom slučaja rješenje presjek koji zadovoljava uvjet, a u drugom nema presjeka, ali svejedno imamo rješenje unutar uvjeta

Pa eto, i sam si primetio da u tom rezonu nešto „ne štima“, upravo ovo što sam ti malopre napomenuo.

blake je napisao:A možda je sve krivo i stvarno je kasno

Ili je rano. Kako kome.

Ja već imam urađen kompletan ovaj zadatak u Latex-u, od samog početka, do samog kraja, i zaista mi nije problem da ga ovde paste-ujem. I, ako hoćeš, učiniću to. Ali ti zaista preporučujem da prvo pokušaš da se sâm „izboriš“ s njim, uz ove ispravke koje sam ti sad napisao.

Ma šta ćeš mi stavljat zadatak kad si mi sad sve već napisa. Dobro je, rješen je zadatak sad kad sam doda još ta 2 uvjeta...

Grešku koju sam napravia je da [inlmath]x^2-1\ne 0\;\Rightarrow\;x\ne 1[/inlmath] jer bi korjenova jedinicu, a to si mi već reka da ne smim i prije; kvadratna funkcija i kvadratni korjen nisu inverzni pa je točno rješenje [dispmath]x\ne\pm 1[/dispmath]
Kasnije nisam ni sve uvjete dobro napisa i eto, ja i nejednadžbe

Osim toga bunilo me sve ovo jer je pravilo kad se nejednadžbe javljaju u modulima i kad imamo više podslučaja unutar jednog slučaja; tada jednom u podslučaju obuhvatimo sa znakom nejednakosti iznos dok u drugom ne...U ovom zadatku u uvjetima očito se sve obuhvaća...Osim na početku kad se strogo ne obuhvaća jer je nazivnik samo veći ili samo manji od [inlmath]0[/inlmath]...

Hvala i pozdrav!

blake je napisao:Grešku koju sam napravia je da [inlmath]x^2-1\ne 0\;\Rightarrow\;x\ne 1[/inlmath] jer bi korjenova jedinicu, a to si mi već reka da ne smim i prije;

Ja ti rekô da ne smeš korenovati jedinicu? Nešto se onda tu nismo razumeli.
Dakle, detaljan postupak je
[dispmath]x^2-1\ne 0\quad\Rightarrow\quad x^2\ne 1\quad\Rightarrow\quad\sqrt{x^2}\ne\sqrt 1\quad\Rightarrow\quad\left|x\right|\ne 1\quad\Rightarrow\quad x\ne\pm 1[/dispmath]

blake je napisao:tada jednom u podslučaju obuhvatimo sa znakom nejednakosti iznos dok u drugom ne...

Verovatno si hteo reći – sa znakom jednakosti?
Bitno je da jednakost bude obuhvaćena bar jednom, mada nije greška ni ako bude obuhvaćena oba puta. Greška je ako uopšte nije obuhvaćena nijednim slučajem.

blake je napisao:Osim toga bunilo me sve ovo jer je pravilo kad se nejednadžbe javljaju u modulima i kad imamo više podslučaja unutar jednog slučaja; tada jednom u podslučaju obuhvatimo sa znakom nejednakosti iznos dok u drugom ne...U ovom zadatku u uvjetima očito se sve obuhvaća...Osim na početku kad se strogo ne obuhvaća jer je nazivnik samo veći ili samo manji od [inlmath]0[/inlmath]...

Hteo bih ovaj deo još malo da prokomentarišem (ako sam dobro razumeo šta želiš da pitaš, a i ako nisam, opet nije na odmet da ovo naglasim...)

Kad se u nejednačini (pa i u jednačini) pojavljuje modul, npr.

[inlmath]\left|x-3\right|\le x+5[/inlmath]

tada posmatramo dva slučaja – kada je veličina pod modulom pozitivna i kada je negativna. Slučaj kada je veličina pod modulom jednaka nuli obuhvatamo jednim od ta dva slučaja (nije velika greška i ako jednakost s nulom obuhvatimo s oba slučaja, ali je suvišno). Znači, posmatramo slučajeve:

[inlmath]\left.1\right)\quad x-3\ge 0[/inlmath]
[inlmath]\left.2\right)\quad x-3<0[/inlmath]

Da smo jednakost obuhvatili s oba slučaja, to bi izgledalo ovako:

[inlmath]\left.1\right)\quad x-3\ge 0[/inlmath]
[inlmath]\left.2\right)\quad x-3\le0[/inlmath]

i to, dakle, nije greška, ali je nepotrebno. Ali, greška bi bila da jednakost nismo obuhvatili nijednim slučajem.


To je bilo što se tiče modula.
Međutim, nešto je drugačija priča kad imamo oblik tipa

[inlmath]\left(x-2\right)\left(x+3\right)\le 0[/inlmath]

Kao što znamo, proizvod dva broja će biti negativan ako i samo ako je jedan od ta dva broja pozitivan, a drugi negativan. Međutim, ovde proizvod može biti i jednak nuli, pa jednakost moramo obuhvatiti razmatranim slučajevima. Proizvod će biti jednak nuli onda kada je bar jedan od faktora jednak nuli.
E, ovde jednakost moramo obuhvatiti u svim razmatranim slučajevima. Jer, ako bismo (pogrešno) postavili uslove

[inlmath]\left.1\right)\quad x-2\ge 0\quad\land\quad x+3<0[/inlmath]
[inlmath]\left.2\right)\quad x-2<0\quad\land\quad x+3\ge 0[/inlmath]

dobili bismo sledeća rešenja:

[inlmath]\left.1\right)\quad x\ge 2\quad\land\quad x<-3\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] nema rešenja
[inlmath]\left.2\right)\quad x<2\quad\land\quad x\ge -3\quad\Rightarrow\quad -3\le x<2[/inlmath]

Slučaj [inlmath]x=2[/inlmath] ne bi bio obuhvaćen rešenjem koje smo dobili, iako je očigledno da bi za slučaj [inlmath]x=2[/inlmath] posmatrana nejednačina bila zadovoljena. Dakle, rešenje koje smo na ovaj način dobili nije kompletno.

Prema tome, jednakost mora biti obuhvaćena svim posmatranim slučajevima:

[inlmath]\left.1\right)\quad x-2\ge 0\quad\land\quad x+3\le 0[/inlmath]
[inlmath]\left.2\right)\quad x-2\le 0\quad\land\quad x+3\ge 0[/inlmath]

i u tom slučaju bismo dobili ispravno rešenje, tj. [inlmath]-3\le x\le 2[/inlmath]

Odredite interval koji je skup svih rješenja sustava nejednadžbi; [dispmath]\frac{2x-1}{x+2}<1[/dispmath]
[dispmath]3x+3<0[/dispmath]

Vrlo slično prethodnim zadacima.
Pre svega, [inlmath]x\ne -2[/inlmath] (zbog imenioca u prvoj jednačini)

U prvoj nejednačini ćemo obe strane pomnožiti sa [inlmath]x+2[/inlmath], s tim da moramo posebno posmatrati dva slučaja.

[inlmath]\left.1\right)\quad x+2>0\quad\Rightarrow\quad x>-2[/inlmath]

Pošto je [inlmath]x+2[/inlmath] pozitivno, množenjem se ne menja znak nejednakosti:
[dispmath]2x-1<x+2[/dispmath]
[dispmath]x<3[/dispmath]
U preseku s uslovom [inlmath]x>-2[/inlmath] dobijamo [inlmath]-2<x<3[/inlmath].

[inlmath]\left.2\right)\quad x+2<0\quad\Rightarrow\quad x<-2[/inlmath]

Pošto je [inlmath]x+2[/inlmath] negativno, množenjem se menja znak nejednakosti:
[dispmath]2x-1>x+2[/dispmath]
[dispmath]x>3[/dispmath]
U preseku s uslovom [inlmath]x<-2[/inlmath] dobijamo prazan skup, tj. nema rešenja.

Prema tome, rešenje prve nejednačine će biti unija rešenja ova dva slučaja, tj. [inlmath]-2<x<3[/inlmath].


Iz druge nejednačine, [inlmath]3x+3<0[/inlmath], dobijamo [inlmath]3x<-3[/inlmath], tj. [inlmath]x<-1[/inlmath].


Presek rešenja prve nejednačine i rešenja druge nejednačine će biti
[dispmath]-2<x<3\quad\land\quad x<-1[/dispmath]
a to je
[dispmath]-2<x<-1[/dispmath]

Thanx

A kad imam rješiti nejednadžbu; [dispmath]\frac{x-2}{x}>\frac{x}{x+1}[/dispmath]
Prebacim razlomak s desne strane na livu i oduzmem da bi dobia;
[dispmath]\frac{-x-2}{x(x+1)}>0[/dispmath] [inlmath]x\ne 0,\quad x\ne -1[/inlmath]

Sad očito imam 2 slučaja, u prvom su i brojnik i nazivnik veći od nule da bi sveukupno bilo veće od nule, a u drugom su oba manja od nule kako bi opet svekupni iznos bia veći od [inlmath]0[/inlmath].

1. slučaj
[inlmath]-x-2>0\quad\cap\quad x(x+1)>0[/inlmath] (ovo bi opet trebalo imat 2 podslučaja?)
[inlmath]-x>2\quad\cap\quad x>0,\quad x>-1[/inlmath]
[inlmath]x<-2\quad\cap\quad x<0,\quad x<-1[/inlmath]

2. slučaj
[inlmath]-x-2<0\quad\cap\quad x(x+1)<0[/inlmath] (ovo bi opet trebalo imat 2 podslučaja?)
[inlmath]-x<2\quad\cap\quad x>0,\quad x<-1[/inlmath]
[inlmath]x>-2\quad\cap\quad x<0,\quad x>-1[/inlmath]

I kako dalje da dobijem konačno rješenje [inlmath]x\in\left<-\infty,-2\right>\cup\left<-1,0\right>[/inlmath]

Pa već si ga skoro i dobio.

blake je napisao:[inlmath]-x>2\quad\cap\quad x>0,\quad x>-1[/inlmath]

[inlmath]\Rightarrow\quad[/inlmath]Ovaj slučaj nema rešenja.

blake je napisao:[inlmath]x<-2\quad\cap\quad x<0,\quad x<-1[/inlmath]

[inlmath]\Rightarrow\quad x<-2[/inlmath]

blake je napisao:[inlmath]-x<2\quad\cap\quad x>0,\quad x<-1[/inlmath]

[inlmath]\Rightarrow\quad[/inlmath]Ovaj slučaj nema rešenja.

blake je napisao:[inlmath]x>-2\quad\cap\quad x<0,\quad x>-1[/inlmath]

[inlmath]\Rightarrow\quad -1<x<-0[/inlmath]

I unija rešenja ovih slučajeva je upravo ono što treba da se dobije.

blake je napisao:(ovo bi opet trebalo imat 2 podslučaja?)

Tako je, svaki od ova dva slučaja ima još svoja dva podslučaja, upravo kao što si i razmatrao.


Samo mala ispravka oko notacije. Znakovi za presek ([inlmath]\cap[/inlmath]) i za uniju ([inlmath]\cup[/inlmath]) odnose se na skupove (samim tim i na intervale, jer su i oni vrsta skupova), ali ne i na iskaze. Za iskaze se koriste znakovi logičko I ([inlmath]\land[/inlmath]) i logičko ILI ([inlmath]\lor[/inlmath]).
[inlmath]-x>2,\quad x>0,\quad x>-1[/inlmath] su iskazi. Prema tome, za njih ne koristimo znakove [inlmath]\cap[/inlmath] i [inlmath]\cup[/inlmath], već [inlmath]\land[/inlmath] ili [inlmath]\lor[/inlmath].
Znači, ne pišemo

blake je napisao:[inlmath]x<-2\quad\cap\quad x<0,\quad x<-1[/inlmath]

već
[inlmath]x<-2\quad\land\quad x<0,\quad x<-1[/inlmath]
a još pravilnije bi bilo
[inlmath]x<-2\quad\land\quad x<0\quad\land\quad x<-1[/inlmath]