MATEMANIJA

Pozdrav! Imam problem sa sledećim zadatkom:
Naći vrednost izraza
[dispmath]\frac{1}{2}\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\left({\large x^\frac{1}{p}+x^\frac{1}{q}}\right)\;\text{za}\;x=\left(\frac{a+b}{a-b}\right)^{\large\frac{2pq}{q-p}}[/dispmath] Rešenje: [inlmath]\large\left(\frac{a+b}{a-b}\right)^\frac{q+p}{q-p}[/inlmath]
Ne pada mi na pamet ništa korisno, ništa što bi me odvelo do konačnog rešenja. Moja ideja je bila da razlomak ispred zagrade, [inlmath]\large\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}[/inlmath], svedem na oblik [inlmath]\large\frac{a+b}{a-b}[/inlmath]. Ovim bih, nakon oslobođivanja zagrada, mogao da sređujem izraz jer bih imao iste osnove, pa bih, naravno, "baratao" eksponentima. Sad, ne znam da li bih ovim putem došao do konačnog rezultata, ali, barem bih mrdnuo s početka. Medjutim, problem je što pomenuti razlomak ne mogu svesti na oblik [inlmath]\frac{a+b}{a-b}[/inlmath].
Svaka smernica bi mi dobro došla. Hvala unapred!

Pozdrav! Nakon što uvrstiš izraz za [inlmath]x[/inlmath] u glavni izraz i primeniš [inlmath]\left(a^b\right)^c=a^{bc}[/inlmath], dobićeš
[dispmath]\frac{1}{2}\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\left(\left(\frac{a+b}{a-b}\right)^\frac{2q}{q-p}+\left(\frac{a+b}{a-b}\right)^\frac{2p}{q-p}\right)[/dispmath] Sada izvuci ispred zagrade geometrijsku sredinu ovih sabiraka (iliti, ispred zagrade izvuci [inlmath]\frac{a+b}{a-b}[/inlmath] stepenovan aritmetičkom sredinom eksponenata unutar zagrade). Ono što ostane u zagradi središ. Javi ako zatreba dodatna pomoć.

Urađeno!