MATEMANIJA

Danas sam naišao na jedan zanimljiv zadatak (ako se ne varam sa nekog takmičenja u Hrvatskoj). Čini mi se kao lep zadatak za podeliti sa takmičarima i ostalima koji uživaju u ovakvim malim izazovima.

Zadatak: Neka su [inlmath]x,\,y\text{ i }z\in\mathbb{R}\setminus\{0\}[/inlmath] takvi da važi [inlmath]x+y+z=0[/inlmath]. Srediti razlomak
[dispmath]\frac{x^7+y^7+z^7}{xyz\left(x^4+y^4+z^4\right)}[/dispmath]
Napomena: nisam siguran da li je rešenje konkretan broj ili neka vrednost u zavisnosti od [inlmath]x,\,y,\,z[/inlmath], mada sam prilikom zamenom nekih vrednosti dobio isti rezultat za dva različita unosa, tako da verujem da se zadatak može srediti.

Srećno!

Ne vidim u ovom zadatku ništa posebno – uvrštavanjem [inlmath]z=-x-y[/inlmath] i razvojem po binomnoj formuli relativno brzo se dolazi do rezultata [inlmath]\frac{7}{2}[/inlmath].
Ako je u pitanju zadatak s takmičenja, moguće da postoji i neki zanimljiviji način...

Evo rješenja koje je Daniel naveo, pa ako nekome, nekada bude zatrebalo, neka ima, zbog provjere:
[dispmath]\enclose{box}{z=-x-y}\\
\frac{x^7+y^7+(-x-y)^7}{xy(-x-y)\left(x^4+y^4+(-x-y)^4\right)}\\
\begin{align}
(-x-y)^7&={7\choose0}(-x)^7(-y)^0+{7\choose1}(-x)^6(-y)^1+{7\choose2}(-x)^5(-y)^2+{7\choose3}(-x)^4(-y)^3+\\
&+{7\choose4}(-x)^3(-y)^4+{7\choose5}(-x)^2(-y)^5+{7\choose6}(-x)(-y)^6+{7\choose7}(-x)^0(-y)^7\\
&=\enclose{box}{-x^7-7x^6y-21x^5y^2-35x^4y^3-35x^3y^4-21x^2y^5-7xy^6-y^7}\\
(-x-y)^4&={4\choose0}(-x)^4(-y)^0+{4\choose1}(-x)^3(-y)^1+{4\choose2}(-x)^2(-y)^2+{4\choose3}(-x)(-y)^3+{4\choose4}(-x)^0(-y)^4\\
&=\enclose{box}{x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4}
\end{align}\\
\frac{\cancel{x^7}+\cancel{y^7}+\left(\cancel{-x^7}-7x^6y-21x^5y^2-35x^4y^3-35x^3y^4-21x^2y^5-7xy^6-\cancel{y^7}\right)}{xy(-x-y)\left(x^4+y^4+\left(x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4\right)\right)}=\\
=-\frac{-7x^6y-21x^5y^2-35x^4y^3-35x^3y^4-21x^2y^5-7xy^6}{2x^6y+6x^2y^5+6x^5y^2+10x^4y^3+10x^3y^4+2xy^6}\\
-\frac{-7\cancel{\left(x^6y+3x^5y^2+5x^4y^3+5x^3y^4+3x^2y^5+xy^6\right)}}{2\cancel{\left(x^6y+3x^2y^5+3x^5y^2+5x^4y^3+5x^3y^4+xy^6\right)}}\\
=-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2}[/dispmath]

^ To je to, s tim da se ovi stepeni binoma mogu i nešto jednostavnije razviti:
[dispmath](-x-y)^7=(-1)^7(x+y)^7=(-1)\cdot(x+y)^7=\cdots\\
(-x-y)^4=(-1)^4(x+y)^4=(x+y)^4=\cdots[/dispmath]