MATEMANIJA

Pozdrav! Imam problem sa sledećim zadatkom:
Rešiti sistem jednačina
[dispmath]10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0\\
3x^2-2y^2+5xy-17x-6y+20=0[/dispmath] Rešenje: [inlmath](2,1)[/inlmath]
Oduzimanjem druge jednačine od prve dobija se
[dispmath]x^2+y^2-xy-3x+3=0[/dispmath] Iz novodobijene jednačine ne može se ništa zaključiti, a izražavanje jedne promenljive preko druge pa uvrštavanje u neku od "polaznih" jednačina sistema mi se čini preterano komplikovano.
Svaka ideja kako završiti zadatak bi dobro došla. Hvala!
Oduzimanjem druge jednačine od prve dobije se vrlo lepa jednačina (3 člana imaju koeficijent [inlmath]1[/inlmath], a dva člana koeficijent [inlmath]3[/inlmath]), pa imam utisak da ovo (oduzimanje jednačina) jeste put koji vodi do konačnog rešenja.

Ko bi rekao da sistem od dve ovako glomazne jednačine ima ovako fino rešenje.

Pozdrav! Da li si razmišljao možda o tome da odgovarajućim operacijama nad datim jednačinama, dobiješ jednačinu bez monoma [inlmath]xy[/inlmath]. Naime, ako pomnožiš prvu jednačinu sa [inlmath]5[/inlmath], a drugu sa [inlmath]2[/inlmath] i onda ih sabereš, dobija se:
[dispmath]56x^2+21y^2-224x-42y+225=0[/dispmath] Pokušaj da transformišeš taj izraz na pogodan način odakle možeš zaključiti nešto o rešenjima te jednačine pa samim tim i datog sistema jednačina.

Hvala na pomoći, uspeo sam da uradim zadatak. No imam jednu nedoumicu, pa da i nju raščistimo:
Dakle, nakon eliminacije monoma dobija se jednačina
[dispmath]56x^2+21y^2-224x-42y+245=0[/dispmath] (umesto [inlmath]225[/inlmath] treba da piše [inlmath]245[/inlmath]. Pretpostavljam da je greška u kucanju, ali da napomenem, za svaki slučaj.)
Jednačinu možemo transformisati u oblik
[dispmath]\left(\sqrt{56}x-2\sqrt{56}-\sqrt{21}y+\sqrt{21}\right)\left(\sqrt{56}x-2\sqrt{56}+\sqrt{21}y-\sqrt{21}\right)=0[/dispmath] Da je u tekstu zadatka naglašeno da su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] racionalni brojevi, rešenja bi bila očita, ali ovako... Da li ja nešto previđam ili je nešto drugo u pitanju?

Pre svega izvinjavam se na grešci. Prvi put kad sam radio zadatak pogrešno sam izračunao, ali mi je ostalo u malom mozgu tih [inlmath]225[/inlmath]. Nego, mislim da to što si napisao nije tačno, jer se dobija:
[dispmath]56(x-2)^2+21(y-1)^2=0[/dispmath] (verovatno si pogrešio u znaku izmedju izraza [inlmath]56(x-2)^2[/inlmath] i [inlmath]21(y-1)^2[/inlmath]. Ali, odavde je lako zaključiti da važi [inlmath]x=2[/inlmath] i [inlmath]y=1[/inlmath].

P.S. (Edit) Štaviše, primetio sam da izraz koji si dobio prvi put:
[dispmath]x^2+y^2-xy-3x+3=0[/dispmath] se takodje može transformisati u zbir dva kvadrata:
[dispmath]\left(y-\frac{1}{2}x\right)^2+\frac{3}{4}(x-2)^2=0[/dispmath] odakle dobijamo [inlmath]x=2y[/inlmath] i [inlmath]x=2[/inlmath], pa samim tim i [inlmath]y=1[/inlmath].

drmm je napisao:verovatno si pogrešio u znaku izmedju izraza [inlmath]56(x-2)^2[/inlmath] i [inlmath]21(y-1)^2[/inlmath].

Upravo to.
Tvoj način (eliminacija [inlmath]xy[/inlmath]) je po meni najelegantiniji, jer se dobije oblik iz kojeg je dosta lakše uočiti zbir kvadrata binoma nego iz oblika [inlmath]x^2+y^2-xy-3x+3=0[/inlmath].
Još jednom. hvala puno!

Frank je napisao:Dakle, nakon eliminacije monoma dobija se jednačina
[dispmath]56x^2+21y^2-224x-42y+245=0[/dispmath]

Radi lakšeg računa, preporučujem deljenje ove jednačine sa [inlmath]7[/inlmath] (lako se uočava da su svi njeni koeficijenti deljivi sa [inlmath]7[/inlmath], pa bi bila gre'ota to ne iskoristiti).

---

Drugi način (mada je po meni najbolji ovaj koji je drmm pokazao) bio bi da jednačinu [inlmath]x^2+y^2-xy-3x+3=0[/inlmath] posmatramo bilo kao kvadratnu po [inlmath]x[/inlmath], bilo kao kvadratnu po [inlmath]y[/inlmath] – i da postavimo uslov nenegativnosti njene diskriminante (što je uslov, jel'te, da rešenja budu realna). Recimo da je rešavamo po [inlmath]x[/inlmath] (što znači da [inlmath]y[/inlmath] privremeno posmatramo kao konstantu):
[dispmath]x_{1,2}=\frac{y+3\pm\sqrt D}{2\cdot1}\\
D=(y+3)^2-4\cdot1\cdot\left(y^2+3\right)=\cdots=-3\left(y-1\right)^2\ge0\quad\Longrightarrow\quad\left(y-1\right)^2\le0\quad\Longrightarrow\quad y-1=0[/dispmath] (Do istog zaključka bismo došli i da smo na isti način rešavali po [inlmath]x[/inlmath] ili po [inlmath]y[/inlmath] jednačinu [inlmath]10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0[/inlmath], s tim da bi račun bio nešto komplikovaniji, jer je i sama jednačina nešto komplikovanija.)

Daniel je napisao:Drugi način (mada je po meni najbolji ovaj koji je drmm pokazao) bio bi da jednačinu [inlmath]x^2+y^2-xy-3x+3=0[/inlmath] posmatramo bilo kao kvadratnu po [inlmath]x[/inlmath], bilo kao kvadratnu po [inlmath]y[/inlmath] – i da postavimo uslov nenegativnosti njene diskriminante (što je uslov, jel'te, da rešenja budu realna)

Nije mi najjasniji ovak postupak jer u tekstu zadatka nigde nije naglašeno da rešenja moraju biti realna, pa ako radimo na ovaj način možemo izgubiti neka rešenja.

Istina, u tekstu nije navedeno da se traže realna rešenja. Ponelo me to što su se u svim zadacima ovakvog tipa koje sam ja dosad viđao tražila realna rešenja. Što, slažem se, nije razlog da i ovde podrazumevamo da su rešenja realna, ako to u tekstu nije naglašeno.
E sad, problem je što, ako ne isključujemo mogućnost kompleksnih rešenja, tada ni drmm-ovo rešenje nije potpuno, jer tada iz [inlmath]56(x-2)^2+21(y-1)^2=0[/inlmath] ne možemo zaključiti da su faktori [inlmath](x-2)^2[/inlmath] i [inlmath](y-1)^2[/inlmath] jednaki nuli, budući da u kompleksnom domenu mogu biti i negativni.
U tom slučaju, ne vidim (bar ne trenutno) nijedan iole jednostavniji način za rešavanje ovog sistema – može se [inlmath]x[/inlmath] napisati kao [inlmath]a+ib[/inlmath], a [inlmath]y[/inlmath] kao [inlmath]c+id[/inlmath] [inlmath](a,b,c,d\in\mathbb{R})[/inlmath], pa dobiti sistem četiri jednačine s četiri nepoznate...
Lično mislim (mada ne mogu da tvrdim) da je u tekstu greškom izostavljeno da se traže realna rešenja.

Daniel je napisao:Lično mislim (mada ne mogu da tvrdim) da je u tekstu greškom izostavljeno da se traže realna rešenja.

Da stvar bude još gora, u tekstovima nekih sličnih zadataka je naglašeno da se traže realna rešenja, dok se u rešenjima istih nalaze i kompleksna rešenja.