MATEMANIJA

Pozdrav svima! Potrebna mi je pomoć oko sledećeg zadatka:
Rešiti jednačinu
[dispmath]\sqrt{5x+1}-2\sqrt{4-x}+\sqrt5\sqrt{x+2}=\sqrt{61-4x}[/dispmath] Rešenje: [inlmath]x=3[/inlmath]
Prvo sam transformisao početnu jednačinu u malo "lepši" oblik
[dispmath]\sqrt{5x+1}+\sqrt{5x+10}=\sqrt{61-4x}+\sqrt{16-4x}[/dispmath] Oblast definisanosti date jednačine je [inlmath]-\frac{1}{5}\le x\le 4[/inlmath].
Nijedan od klasičnih pristupa (kvadriranje, faktorisanje jednačine, deljenje jednačine nekom vrednošću i uvođenje smene) ne pali. Kvadriranjem se dobijaju veliki brojevi i jednačina četvrtog stepena. Takođe, ne vidim neku pogodnu smenu koja bi odvela do konačnog rešenja zadatka.
Pretpostavljam da ovaj zadatak zahteva neki jedinstven pristup sa kojim se nisam sreo do sada.
Hvala unapred!

Pozdrav, licno i mene zanima kako se tacno dolazi do rezultata ovdje.
Ako ovu jednacinu prebacimo u funkciju, onda je rjesenje korijen funkcije. [inlmath]f(x)=\sqrt{5x+1}+\sqrt{5x+10}-\sqrt{61-4x}-\sqrt{16-4x}[/inlmath]
Sljedece sto je potrebno je domen.
Ako zelimo da ostanemo strogo u domenu realnih brojeva, tada svi kvadratni korijeni trebaju da imaju nenegativne vrijednosti:
[dispmath]5x+1\ge0\;\land\;5x+10\ge0\;\land\;61-4x\ge0\;\land\;16-4x\ge0\\
x\ge-\frac{1}{5}\;\land\;x\ge-2\\
x\leq\frac{61}{4}\;\land\;x\leq4\\
-\frac{1}{5}\leq x\leq4[/dispmath] Sto si vec i sam odredio...
Ako nacrtamo ovu funkciju, mozemo primjetiti:
1. Funkcija raste monotono, i zbog toga moze imati najvise jedan korijen.
2. Da je korijen [inlmath]x=3[/inlmath] ili nesto veoma blizu [inlmath]3[/inlmath].
I zaista, postavljanjem [inlmath]f(3)=0[/inlmath] potvrdice da je ovo jedini korijen (i samim tim i rjesenje) unutar domena.
Mozda ti moj odgovor i nece nesto pomoci, ni ja nisam siguran u tacnost svog posta, u rjesavanju ovog zadatka (neka me neko strucniji ispravi).

Srđanov način s posmatranjem funkcije svakako je interesantan. Može se i analitičkim putem izbeći jednačina četvrtog stepena, ako uočimo da se u dve potkorene veličine javlja [inlmath]5x[/inlmath], a u dve se javlja [inlmath]-4x[/inlmath]. Ako ove korenove pregrupišemo tako da na svakoj strani jednačine bude po jedan sa [inlmath]5x[/inlmath] i po jedan sa [inlmath]-4x[/inlmath], tada će se prilikom prvog kvadriranja skratiti linearni članovi, prilikom narednog kvadriranja će se skratiti kvadratni članovi, tako da će se pri sledećem (i poslednjem) kvadriranju dobiti jednačina drugog stepena.

Svakako će se u toku rešavanja javiti veliki brojevi. Kako ovi brojevi ne bi bili još veći, u svakom koraku proveriti postoji li neki NZD za sve koeficijente u jednačini, i podeliti jednačinu tim NZD-om.

Hvala obojici! Uspeo sam da uradim zadatak. (doduše uz malo veću pomoć digitrona, ali dobro... ) Čisto sumnjam da bih ovaj zadatak uradio na nekom testu ili prijemnom.

U međuvremenu sam došao do još jednog načina rješenja ovog zadatka.
Ako postavimo da je:
[dispmath]\sqrt{5x+1}+\sqrt{5x+10}=\sqrt{61-4x}+\sqrt{16-4x}=a[/dispmath] Sada ako podijelimo ovaj izraz na dva dijela:
[inlmath]1.[/inlmath]
[dispmath]\sqrt{5x+1}+\sqrt{5x+10}=a\;\Longrightarrow\;\sqrt{5x+1}=a-\sqrt{5x+10}[/dispmath] Kvadriranjem obe strane dobijamo:
[dispmath]5x+1=a^2-2a\sqrt{5x+10}+5x+10\;\Longrightarrow\;2a\sqrt{5(x+2)}=a^2+9\;\Longrightarrow\;x+2=\frac{\left(a^2+9\right)^2}{20a^2}\\
\Longrightarrow\;x=\frac{a^4-22a^2+81}{20a^2}=\frac{a^2}{20}-\frac{11}{10}+\frac{81}{20a^2}[/dispmath] [inlmath]2.[/inlmath]
[dispmath]\sqrt{61-4x}+\sqrt{16-4x}=a\;\Longrightarrow\;\sqrt{61-4x}=a-\sqrt{16-4x}[/dispmath] Kvadriranjem obe strane dobijamo:
[dispmath]61-4x=a^2-2a\sqrt{16-4x}+16-4x\;\Longrightarrow\;a^2-2a\sqrt{4(4-x)}=45\;\Longrightarrow\;4-x=\frac{\left(45-a^2\right)^2}{16a^2}[/dispmath] Zamjenom [inlmath]x[/inlmath] iz prvog dijela u drugi dio dobijamo:
[dispmath]4-\frac{a^4-22a^2+81}{20a^2}=\frac{\left(45-a^2\right)^2}{16a^2}\\
408a^2-4a^4-324=10125+5a^4-450a^2\\
9a^4-858a^2+10449=0\\
\left(3a^2-143\right)^2=100^2\\
3a^2-143=\pm100[/dispmath] Razdvojimo ovo na slučaje:
[inlmath]1.[/inlmath] Slučaj:
[dispmath]3a^2-143=100\;\Longrightarrow\;3a^2=243\;\Longrightarrow\;a^2=81[/dispmath] Vratimo sada [inlmath]a^2=81[/inlmath] u prvi dio:
[dispmath]x=\frac{a^2}{20}-\frac{11}{10}+\frac{81}{20a^2}=\frac{81}{20}-\frac{11}{10}+\frac{81}{20\cdot81}=\frac{81-22+1}{20}=3[/dispmath] [inlmath]2.[/inlmath] Slučaj:
[dispmath]3a^2-143=-100\;\Longrightarrow\;3a^2=43\;\Longrightarrow\;a^2=\frac{43}{3}[/dispmath] Vratimo sada [inlmath]a^2=\frac{43}{3}[/inlmath] u prvi dio:
[dispmath]x=\frac{a^2}{20}-\frac{11}{10}+\frac{81}{20a^2}=\frac{43}{20\cdot3}-\frac{11}{10}+\frac{81\cdot3}{20\cdot43}=\frac{-13}{129}[/dispmath] Provjera:
Slučaj [inlmath]1.[/inlmath] kada je [inlmath]x=3[/inlmath]:
[dispmath]\sqrt{5x+1}+\sqrt{5x+10}=9\\
\sqrt{61-4x}+\sqrt{16-4x}=9[/dispmath] Slučaj [inlmath]2.[/inlmath] kada je [inlmath]x=\frac{-13}{129}[/inlmath]
[dispmath]\sqrt{5x+1}+\sqrt{5x+10}=3.785938897\\
\sqrt{61-4x}{16-4x}=11.88608724[/dispmath] Zaključujemo da je jedino ispravno rješenje [inlmath]x=3[/inlmath].

Rešenje iz zbirke:
Data jednačina ekvivalentna je jednačini
[dispmath]\sqrt{5x+1}+\sqrt{5x+10}=\sqrt{16-4x}+\sqrt{61-4x}[/dispmath] pri čemu su izrazi definisani za [inlmath]-\frac{1}{5}\le x\le4[/inlmath]. Uvedimo oznake [inlmath]l(x)=\sqrt{5x+1}+\sqrt{5x+10}[/inlmath] i [inlmath]d(x)=\sqrt{16-4x}+\sqrt{61-4x}[/inlmath]. Tada je [inlmath]l(3)=d(3)=9[/inlmath]. Za [inlmath]-\frac{1}{5}\le x<3[/inlmath] važi [inlmath]l(x)<l(3)=d(3)<d(x)[/inlmath], a za [inlmath]3<x\le4[/inlmath] važi [inlmath]l(x)>l(3)=d(3)>d(x)[/inlmath]. Prema tome [inlmath]x_1=3[/inlmath] je jedino rešenje date jednačine.


Meni postupak iz zbirke i ne leži baš, pa sam pomoć potražio na Matemaniji. No, možda nekome rešenje po zbirci bude interesatno, pa eto...

Uvek kad imaš postupak treba ga napisati još u uvodnom postu, i navesti delove koji su nejasni.

Frank je napisao:Uvedimo oznake [inlmath]l(x)=\sqrt{5x+1}+\sqrt{5x+10}[/inlmath] i [inlmath]d(x)=\sqrt{16-4x}+\sqrt{61-4x}[/inlmath]. Tada je [inlmath]l(3)=d(3)=9[/inlmath].

Ovo je, pretpostavljam, dobijeno „napipavanjem“? U tom slučaju, nisam nešto oduševljen tim načinom.

Baš zbog tog napipavanja mi se i ne svidja postupak iz zbirke. Iskreno, nisam se nešto preterano ni trudio da ga razumem... Al napisah i njega, možda nekog zaintereuje.
Da mi je samo neki deo nejasan svakako bih postupak napisao u uvodnom postu, ali ovako...