MATEMANIJA

Zdravo svima! Imam problem sa sledećim zadatkom:
Rešiti nejednačinu
[dispmath]\sqrt{x+3}+\sqrt[4]{9-x}>\sqrt3[/dispmath] Rešenje: [inlmath]-3\le x\le9[/inlmath].
Moj postupak:
[dispmath]\sqrt[4]{9-x}>\sqrt3-\sqrt{x+3}\hspace{15mm}{[1]}\\
9-x\ge0\;\land\;x+3\ge0\;\land\;\sqrt3-\sqrt{x+3}\ge0\;\Longrightarrow\;-3\le x\le0\\
\sqrt[4]{9-x}>\sqrt3-\sqrt{x+3}\;\large/^2\\
\vdots\\
2\sqrt{3x+9}+\sqrt{9-x}>6+x\;{\large/^2},\;x\ge-6\hspace{15mm}{[2]}\\
4\sqrt{(3x+9)(9-x)}>x^2+x-9[/dispmath] Kad ponovo kvadriram dobijam nejednačinu četvrtog stepena koju ne znam kako da rešim jer je dosta "ružna" (koeficijenti su poprilično veliki, a prisutan je i treći stepen pa je ne mogu posmatrati kao bikvadratnu nejednačinu).
Nisam zaboravio slučajeve [inlmath]\sqrt3-\sqrt{x+3}<0[/inlmath] u [inlmath][1][/inlmath] odnosno [inlmath]6+x<0[/inlmath] u [inlmath][2][/inlmath], no oni mi ne vrede ništa jer ne uspevam da završim slučaj kada je desna strana nejednakosti nenegativna.
Pokušao sam i da uvedem odgovarajuću smenu, ali ništa... Svaka pomoć bi dobro došla. Hvala!

Pozdrav, možda da napišeš [inlmath]\sqrt[4]{9-x}=t\;\land\;x=9-t^4\;\Longrightarrow\;\sqrt{\left(9-t^4\right)+3}+t>\sqrt3[/inlmath]
Možda je "jednostavnije" nego [inlmath]\sqrt{x+3}+\sqrt[4]{9-x}>\sqrt3[/inlmath]. Ne znam koliko će ti to pomoći, probaj.

@Srdjan01, mislim da ne vredi tako, dobije se jednačina osmog stepena po [inlmath]t[/inlmath] (doduše, četvrtog stepena po [inlmath]t^2[/inlmath]).

Frank je napisao:[dispmath]\sqrt[4]{9-x}>\sqrt3-\sqrt{x+3}\hspace{15mm}{[1]}\\
9-x\ge0\;\land\;x+3\ge0\;\land\;{\color{red}\sqrt3-\sqrt{x+3}\ge0}[/dispmath]

Crveno obeleženi deo nije tačan (uočavaš li zašto?)

Ja bih levu stranu nejednačine posmatrao kao funkciju i analizirao bih njeno ponašanje na intervalu u kojem je definisana.

Daniel je napisao:Crveno obeleženi deo nije tačan (uočavaš li zašto?)

Ne, ne uvidjam grešku.

To bi važilo da je u pitanju jednačina. Tada bi, pošto je leva strana nenegativna, morala biti nenegativna i desna strana.
Ali, pošto je ovde nejednačina, sa znakom [inlmath]>[/inlmath], tada pošto je leva strana nenegativna, desna može biti i negativna (štaviše, tada je nejednačina automatski zadovoljena).
Mada, vidim, kasnije si u svom komentaru i spomenuo tu mogućnost, ali opet nema razloga postavljati uslov [inlmath]\sqrt3-\sqrt{x+3}\ge0[/inlmath], već se nejednačina rešava bez tog uslova i samo se nađe još i unija sa skupom rešenja za [inlmath]\sqrt3-\sqrt{x+3}<0[/inlmath].
(Ova nejednačina teško da se uopšte može rešiti tim načinom, ali govorim o principu.)

Stvarno mi nije jasno kako je moguće kvadrirati nejednačinu bez postavljanja uslova da su obe strane nejednakosti istog znaka? Verovatno te nisam nešto najbolje razumeo.

Možda bi moglo ovako:
Ako nacrtamo funkciju [inlmath]f(x)=\sqrt{x+3}+\sqrt[4]{9-x}[/inlmath] (plavo)
Takođe, označiću [inlmath]y=\sqrt3[/inlmath] (crveno)


Kao što možemo vidjeti "plava" funkcija je realna samo unutar intervala [inlmath][-3,9][/inlmath].
Sada možemo pronaći minimum funckije [inlmath]f(x)[/inlmath] unutar gornjeg intervala. Da bi to uradili, pokazaćemo da postoji samo jedna ekstremna tačka i da je ta tačka maksimum.
[dispmath]0=\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}-\frac{1}{4(9-x)^\frac{3}{4}}\;\Longrightarrow\;\sqrt{x+3}=2(9-x)^\frac{3}{4}[/dispmath] Ovdje lijevi termin raste monotono, dok desni termin monotono pada. Stoga, može biti najviše jedna tačka u kojoj su jednaki. I zaista, postoji jedna takva tačka [inlmath]x\approx7.140741354[/inlmath]. Zatim, upoređivanjem ove tačke, sa bilo kojom drugom tačkom, može trivijalno pokazati da je tačka ekstrema maksimum. Iz svega ovoga, možemo zaključiti da je minimum funkcije na jednoj (ili obe ivice) intervala.
[dispmath]f(-3)=\sqrt[4]{12}\approx1.861209718\\
f(9)=2\cdot\sqrt3\approx3.464101615[/dispmath] Oboje su veći od [inlmath]\sqrt3\approx1.732050807[/inlmath].
Možemo reći da je [inlmath]\enclose{box}{\sqrt{x+3}+\sqrt[4]{9-x}\ge\sqrt[4]{12}>\sqrt3}[/inlmath].
E sada, nisam siguran u vezi svog posta (neka me neko ispravi). Možda ti na neki način pomogne . Izvinjavam se zbog slike, ako nije postavljena u skladu sa pravilnikom.

Frank je napisao:Stvarno mi nije jasno kako je moguće kvadrirati nejednačinu bez postavljanja uslova da su obe strane nejednakosti istog znaka? Verovatno te nisam nešto najbolje razumeo.

Nisam govorio o kvadriranju, govorio sam o tome da iz [inlmath]\sqrt[4]{9-x}>\sqrt3-\sqrt{x+3}[/inlmath] ne sledi [inlmath]\sqrt3-\sqrt{x+3}\ge0[/inlmath].

A što se tiče kvadiranja, nakon što konstatuješ da je za [inlmath]\sqrt3-\sqrt{x+3}<0[/inlmath] nejednačina uvek zadovoljena, možeš bez ikakvih problema kvadrirati bez postavljanja uslova [inlmath]\sqrt3-\sqrt{x+3}\ge0[/inlmath], jer svakako nećeš dobiti „višak“ rešenja (ona rešenja koja bi u nekoj drugoj situaciji predstavljala višak, ovde će zapravo pripadati onom slučaju [inlmath]\sqrt3-\sqrt{x+3}<0[/inlmath]).

No, ako ti je sve ovo previše zbunjujuće, uvek možeš pre kvadriranja razdvojiti na podslučaj [inlmath]\sqrt3-\sqrt{x+3}<0[/inlmath] (tada je nejednačina automatski zadovoljena) i na podslučaj [inlmath]\sqrt3-\sqrt{x+3}\ge0[/inlmath] (tada možeš „mirne duše“ kvadrirati).

---

@Srdjan01
Da, upravo na taj način sam i mislio kad sam spomenuo analizu funkcije. (BTW sve je sasvim u skladu s pravilnikom, zašto ne bi bilo?) S tim, da može i bez traženja ekstrema, dovoljno je naći drugi izvod, pokazati da je on negativan na celom tom intervalu, što će reći da je grafik funkcije na celom intervalu konkavan odozdo. Samim tim, pošto je funkcija na tom intervalu i neprekidna, ne može postojati tačka unutar tog intervala u kojoj funkcija ima vrednost koja je manja od obe vrednosti na granicama intervala. Iz toga sledi da se minimalna vrednost nalazi u nekoj od granica tog intervala (ili u obe).

Inače, zaista nema potrebe računati ovo korenje (uostalom, šta ako nam digitron i nije pri ruci?)

Srdjan01 je napisao:[dispmath]f(-3)=\sqrt[4]{12}\approx1.861209718\\
f(9)=2\cdot\sqrt3\approx3.464101615[/dispmath]

Ako želimo da ih uporedimo sa [inlmath]\sqrt3[/inlmath], to možemo lepo učiniti kvadriranjem – pošto je za pozitivne brojeve kvadratna funkcija monotono rastuća, onda će kvadrat većeg broja biti veći od kvadrata manjeg broja (i obratno). Naravno, isto važi i za [inlmath]4.[/inlmath] stepen: [inlmath]\left(\sqrt[4]{12}\right)^4=12>9=\left(\sqrt3\right)^4\;\Longrightarrow\;\left(\sqrt[4]{12}\right)^4>\left(\sqrt3\right)^4\;\Longrightarrow\;\sqrt[4]{12}>\sqrt3[/inlmath]
Za [inlmath]f(9)=2\cdot\sqrt3[/inlmath] se i bez kvadriranja vidi da je veće (i to dvaput veće) od [inlmath]\sqrt3[/inlmath].