MATEMANIJA

Pozdrav,
Imam problem u vezi eksponencijalne nejednačine (Ftn Novi Sad zbirka);
[dispmath]4^{-x+\frac{1}{2}}-7\cdot2^{-x}-4<0[/dispmath] Rešenje je [inlmath]x>-2[/inlmath], ali zbog čega nije manje od [inlmath]2[/inlmath]?

Rešavao sam je na sledeći način;
Najpre sam prebacio eksponente u imenilac kako bih se oslobodio minusa;
[dispmath]\frac{1}{4^x}\cdot2-7\cdot\frac{1}{2^x}-4<0[/dispmath] Odavde sam uveo smenu da mi je [inlmath]2^x=t[/inlmath] i dobija se;
[dispmath]\frac{2}{t^2}-\frac{7}{t}-4<0[/dispmath] Iz čega sledi kv. jednačina [inlmath]-4t^2-7t+2>0[/inlmath]

Čije je jedno [inlmath]t[/inlmath] jednako [inlmath]-2[/inlmath], a drugo [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath] i to je skup [inlmath]\left(-2,\frac{1}{4}\right)[/inlmath]
Tj. kad vratimo u smenu [inlmath]2^x>-2[/inlmath] i [inlmath]2^x<\frac{1}{4}[/inlmath]
Ali kako eksponent nikako ne može biti negativno pa sam ga izbacio.
Iz toga bi [inlmath]2^x[/inlmath] trebalo da bude manje od [inlmath]-2[/inlmath], a ne veće kako je rešenje u zbirci?
Video sam da su u njihovim rešenjima postavili smenu da je [inlmath]2^{-x}=t[/inlmath], ali ne vidim šta je problem sa mojom smenom.

Acim je napisao:[dispmath]\frac{2}{t^2}-\frac{7}{t}-4<0[/dispmath] Iz čega sledi kv. jednačina [inlmath]-4t^2-7t+2>0[/inlmath]

Zašto si ovde obrnuo znak? Kada sve svedeš na jedan razlomak, u imeniocu ćeš imati [inlmath]t^2[/inlmath] koje je svakako pozitivno (zbog uvedene smene ne može da bude jednako nuli). Znači, brojilac mora da bude negativan da bi ceo razlomak bio manji od nule.

Aha, vidim sad, ne znam kako mi je to promaklo.
Sada razumem, hvala

Acim je napisao:Video sam da su u njihovim rešenjima postavili smenu da je [inlmath]2^{-x}=t[/inlmath], ali ne vidim šta je problem sa mojom smenom.

Nije nikakav problem s tvojom smenom (zadatak se često i može uraditi na više različitih načina), ali je postupak s njihovom smenom svakako jednostavniji (odmah dobijaš kvadratnu nejednačinu [inlmath]2t^2-7t-4<0[/inlmath]), preporučio bih ti da uradiš i na taj način.