Pozdrav! Naiđoh na jedan zanimljiv zadatak koji ne uspevam nikako da rešim. Tekst zadatka je sledeći:
Rešiti jednačinu [inlmath]2^x-3^y=7[/inlmath], u skupu celih brojeva.
Rešenje: [inlmath](3,0);\;(4,2)[/inlmath]
Moj postupak je sledeći: [inlmath]2^x-3^y=7\;\Longrightarrow\;2^x=7+3^y[/inlmath]. Kako su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] celi brojevi zaključujemo da je [inlmath]x\ge3[/inlmath].
Kako je [inlmath]x\ge3[/inlmath] i [inlmath]3^y=2^x-7[/inlmath] zaključujemo da je [inlmath]y\ge0[/inlmath].
Početnu jednačinu možemo zapisati u obliku
[dispmath]\left(2^{\large\frac{x}{2}}-3^{\large\frac{y}{2}}\right)\left(2^{\large\frac{x}{2}}+3^{\large\frac{y}{2}}\right)=7[/dispmath] Pod pretpostavkom da su i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] parni, imamo sistem jednačina
[dispmath]2^{\large\frac{x}{2}}+3^{\large\frac{y}{2}}=7\\
2^{\large\frac{x}{2}}-3^{\large\frac{y}{2}}=1[/dispmath] Rešavanjem sistema dolazimo do jednog para rešenja, [inlmath](4,2)[/inlmath].
Ono što mi nije jasno je to kako da ispitamo one slučajeve (mogućnosti) kada [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] (istovremeno) nisu parni. Hvala unapred!