Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Eksponencijalna jednačina s dve nepoznate

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Eksponencijalna jednačina s dve nepoznate

Postod Frank » Petak, 27. Novembar 2020, 16:28

Pozdrav! Naiđoh na jedan zanimljiv zadatak koji ne uspevam nikako da rešim. Tekst zadatka je sledeći:

Rešiti jednačinu [inlmath]2^x-3^y=7[/inlmath], u skupu celih brojeva.
Rešenje: [inlmath](3,0);\;(4,2)[/inlmath]

Moj postupak je sledeći: [inlmath]2^x-3^y=7\;\Longrightarrow\;2^x=7+3^y[/inlmath]. Kako su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] celi brojevi zaključujemo da je [inlmath]x\ge3[/inlmath].
Kako je [inlmath]x\ge3[/inlmath] i [inlmath]3^y=2^x-7[/inlmath] zaključujemo da je [inlmath]y\ge0[/inlmath].
Početnu jednačinu možemo zapisati u obliku
[dispmath]\left(2^{\large\frac{x}{2}}-3^{\large\frac{y}{2}}\right)\left(2^{\large\frac{x}{2}}+3^{\large\frac{y}{2}}\right)=7[/dispmath] Pod pretpostavkom da su i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] parni, imamo sistem jednačina
[dispmath]2^{\large\frac{x}{2}}+3^{\large\frac{y}{2}}=7\\
2^{\large\frac{x}{2}}-3^{\large\frac{y}{2}}=1[/dispmath] Rešavanjem sistema dolazimo do jednog para rešenja, [inlmath](4,2)[/inlmath].
Ono što mi nije jasno je to kako da ispitamo one slučajeve (mogućnosti) kada [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] (istovremeno) nisu parni. Hvala unapred! :)
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Eksponencijalna jednačina s dve nepoznate

Postod Daniel » Subota, 28. Novembar 2020, 01:03

Razmotrimo prvo slučaj da je [inlmath]x[/inlmath] neparno. Za [inlmath]y=0[/inlmath] jednačina [inlmath]2^x=7+3^y[/inlmath] očigledno ima rešenje, to je [inlmath]x=3[/inlmath]. Zatim posmatrajmo slučaj [inlmath]y\ge1[/inlmath]. Prethodnu jednačinu napišimo kao [inlmath]2^x-1=6+3^y[/inlmath]. Pošto je [inlmath]y\ge1[/inlmath], desna strana je deljiva sa [inlmath]3[/inlmath], samim tim mora biti i leva, pa ćemo ispitati za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] će to biti zadovoljeno. Dvojku možemo napisati kao [inlmath]3-1[/inlmath], a zatim [inlmath](3-1)^x[/inlmath] razviti kao stepen binoma:
[dispmath]2^x-1=(3-1)^x-1=\sum_{k=0}^x{x\choose k}3^{x-k}(-1)^k-1=6+3^y\\
\underbrace{{x\choose0}3^x(-1)^0+{x\choose1}3^{x-1}(-1)^1+{x\choose2}3^{x-2}(-1)^2+\cdots{x\choose x-1}3^1(-1)^{x-1}}_{\text{deljivo sa }3}+\underbrace{{x\choose x}3^0(-1)^x}_{(-1)^x}-1=6+3^y[/dispmath] Odavde se vidi da [inlmath](-1)^x-1[/inlmath] mora biti deljivo sa [inlmath]3[/inlmath], a pošto su njegove vrednosti [inlmath]0[/inlmath] za parno [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]-2[/inlmath] za neparno [inlmath]x[/inlmath], sledi da [inlmath]x[/inlmath] mora biti parno kada je [inlmath]y\ge1[/inlmath].



Na sličan način se dokazuje i parnost [inlmath]y[/inlmath]. Pođe se od oblika [inlmath]3^y=2^x-7[/inlmath] i uoči se da je sabirak [inlmath]2^x[/inlmath] deljiv sa [inlmath]4[/inlmath] za [inlmath]x\ge2[/inlmath] (što nije ograničavajući uslov budući da si već pokazao da je [inlmath]x\ge3[/inlmath]). Dalje bih prepustio tebi...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 48 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 20:35 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs