MATEMANIJA

Pozdrav! Naiđoh na jedan zanimljiv zadatak koji ne uspevam nikako da rešim. Tekst zadatka je sledeći:

Rešiti jednačinu [inlmath]2^x-3^y=7[/inlmath], u skupu celih brojeva.
Rešenje: [inlmath](3,0);\;(4,2)[/inlmath]

Moj postupak je sledeći: [inlmath]2^x-3^y=7\;\Longrightarrow\;2^x=7+3^y[/inlmath]. Kako su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] celi brojevi zaključujemo da je [inlmath]x\ge3[/inlmath].
Kako je [inlmath]x\ge3[/inlmath] i [inlmath]3^y=2^x-7[/inlmath] zaključujemo da je [inlmath]y\ge0[/inlmath].
Početnu jednačinu možemo zapisati u obliku
[dispmath]\left(2^{\large\frac{x}{2}}-3^{\large\frac{y}{2}}\right)\left(2^{\large\frac{x}{2}}+3^{\large\frac{y}{2}}\right)=7[/dispmath] Pod pretpostavkom da su i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] parni, imamo sistem jednačina
[dispmath]2^{\large\frac{x}{2}}+3^{\large\frac{y}{2}}=7\\
2^{\large\frac{x}{2}}-3^{\large\frac{y}{2}}=1[/dispmath] Rešavanjem sistema dolazimo do jednog para rešenja, [inlmath](4,2)[/inlmath].
Ono što mi nije jasno je to kako da ispitamo one slučajeve (mogućnosti) kada [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] (istovremeno) nisu parni. Hvala unapred!

Razmotrimo prvo slučaj da je [inlmath]x[/inlmath] neparno. Za [inlmath]y=0[/inlmath] jednačina [inlmath]2^x=7+3^y[/inlmath] očigledno ima rešenje, to je [inlmath]x=3[/inlmath]. Zatim posmatrajmo slučaj [inlmath]y\ge1[/inlmath]. Prethodnu jednačinu napišimo kao [inlmath]2^x-1=6+3^y[/inlmath]. Pošto je [inlmath]y\ge1[/inlmath], desna strana je deljiva sa [inlmath]3[/inlmath], samim tim mora biti i leva, pa ćemo ispitati za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] će to biti zadovoljeno. Dvojku možemo napisati kao [inlmath]3-1[/inlmath], a zatim [inlmath](3-1)^x[/inlmath] razviti kao stepen binoma:
[dispmath]2^x-1=(3-1)^x-1=\sum_{k=0}^x{x\choose k}3^{x-k}(-1)^k-1=6+3^y\\
\underbrace{{x\choose0}3^x(-1)^0+{x\choose1}3^{x-1}(-1)^1+{x\choose2}3^{x-2}(-1)^2+\cdots{x\choose x-1}3^1(-1)^{x-1}}_{\text{deljivo sa }3}+\underbrace{{x\choose x}3^0(-1)^x}_{(-1)^x}-1=6+3^y[/dispmath] Odavde se vidi da [inlmath](-1)^x-1[/inlmath] mora biti deljivo sa [inlmath]3[/inlmath], a pošto su njegove vrednosti [inlmath]0[/inlmath] za parno [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]-2[/inlmath] za neparno [inlmath]x[/inlmath], sledi da [inlmath]x[/inlmath] mora biti parno kada je [inlmath]y\ge1[/inlmath].

---

Na sličan način se dokazuje i parnost [inlmath]y[/inlmath]. Pođe se od oblika [inlmath]3^y=2^x-7[/inlmath] i uoči se da je sabirak [inlmath]2^x[/inlmath] deljiv sa [inlmath]4[/inlmath] za [inlmath]x\ge2[/inlmath] (što nije ograničavajući uslov budući da si već pokazao da je [inlmath]x\ge3[/inlmath]). Dalje bih prepustio tebi...