MATEMANIJA

Pozdrav, već dva dana pokušavam riješiti ovaj zadatak i nisam uspio. Zadatak izvorno glasi:

Odrediti koji broj je veći:
[dispmath]\frac{3\sqrt7+5\sqrt2}{\sqrt5}\enspace\text{ili}\enspace6[/dispmath]
Pomoću kalkulatora sam odredio da je ovaj desni izraz približno jednak [inlmath]6.71[/inlmath] i tako zaključio da je veći od [inlmath]6[/inlmath], samo ne znam to dokazati algebarskim putem, stoga sam tako nazvao ovaj post.
Hvala puno unaprijed!

Ima još jedan sličan zadatak sa izrazima [inlmath]\sqrt{8\sqrt{15}}[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{2}\left(\sqrt{30}-\sqrt2\right)[/inlmath] ali nadam se da ću ovaj znati sam uraditi nakon što shvatim primjer iznad.

Hint: Kvadriraj izraz sa korenima pa pokaži da je novodobijeni izraz veći od [inlmath]36[/inlmath].

Evo kako sam uradio:
[dispmath]\frac{3\sqrt7+5\sqrt2}{\sqrt5}\quad\quad6\quad\quad/^2[/dispmath][dispmath]\frac{113+30\sqrt{14}}{5}\quad\quad36\quad\quad[/dispmath][dispmath]22,6+6\sqrt{14}\quad\quad36\quad\quad/-22,6[/dispmath][dispmath]6\sqrt{14}\quad\quad13,4\quad\quad/^2[/dispmath][dispmath]224\quad>\quad179,56\quad\quad[/dispmath] Sad nisam siguran da li je ovo ispravan postupak

Princip je u redu. Imaš u poslednjem redu grešku, na levoj strani treba da se dobije [inlmath]504[/inlmath] a ne [inlmath]224[/inlmath], ali to ne menja smer znaka nejednakosti, leva strana je svakako veća od desne.
Mogao si još u pretposlednjem koraku uočiti da je [inlmath]14[/inlmath] koje se nalazi pod korenom veće od [inlmath]9[/inlmath] (koji predstavlja najveći potpun kvadrat manji od [inlmath]14[/inlmath]), pa da samim tim za levu stranu važi [inlmath]6\sqrt{14}>6\sqrt9=18[/inlmath], što je veće od [inlmath]13,4[/inlmath] na desnoj strani. Na taj način bi izbegao kvadriranje broja [inlmath]13,4[/inlmath], koje ipak oduzme neko vreme ako to treba da obaviš ručno.

Možda bi i lakši način bio da smo se oslobodili razlomka tako što bismo ili pre kvadriranja pomnožili obe strane sa [inlmath]\sqrt5[/inlmath], ili nakon kvadriranja pomnožili obe strane sa [inlmath]5[/inlmath] – i [inlmath]\sqrt5[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath] su pozitivne vrednosti, tako da se množenjem obe strane ovim (pozitivnim) vrednostima ne menja smer znaka nejednakosti.
Isto tako, i kvadriranje smo smeli izvesti bez bojazni po promenu smera znaka nejednakosti, budući da su obe strane pre kvadriranja bile pozitivne. Da je neka od njih (ili obe) bila negativna, e onda bi već moralo malo da se diskutuje (ovo verovatno i sam znaš, ali nije zgoreg da napomenem).

Dakle, nakon množenja obe strane sa [inlmath]\sqrt5[/inlmath], a zatim kvadriranja, imali bismo na levoj [inlmath]113+30\sqrt{14}[/inlmath] a na desnoj [inlmath]180[/inlmath], oduzimanjem [inlmath]113[/inlmath] od obe strane dobijamo [inlmath]30\sqrt{14}[/inlmath] na levoj i [inlmath]67[/inlmath] na desnoj, i sad da ne bismo to kvadrirali možemo, kao što gore već napisah, uočiti da je [inlmath]30\sqrt{14}>30\sqrt9=90[/inlmath], tj. leva strana je veća od [inlmath]90[/inlmath], a samim tim i od desne strane koja iznosi [inlmath]67[/inlmath].

Hvala puno na detaljnom objašnjenju i na različitim načinima na koje se moglo pristupiti problemu.