MATEMANIJA

Drugi probni prijemni ispit FON – 25. jun 2015.
8. zadatak

Poz!

Zbir svih realnih rešenja jednačine [inlmath]\displaystyle\frac{x^2+4x+1}{x}+\frac{3x}{x^2+4x+1}=4[/inlmath] jednak je?
Rešenje: [inlmath]-3[/inlmath].

Nije mi jasno kako. Ja sam uspeo doći do ovog dela [inlmath]x^4+4x^3+5x^2+4x+1[/inlmath]. A sad, ovde sam zaboo u mestu.

Svaki savet je cenjen. Hvala!

Uvedi smenu
[dispmath]t=\frac{x^2+4x+1}{x}[/dispmath]

Cao Frank!

Hvala na savetu, ne znam kako se ne setih ovoga pre.

Dobija se [inlmath]t=3[/inlmath] i [inlmath]t=1[/inlmath], a posle sve ide lako.

Meni i dalje nije jasno sta dalje nakon sto uvedem tu smenu [inlmath]t[/inlmath]. Da li moze malo pojasnjenje kroz korake?
Hvala unapred

[dispmath]t+\frac{3}{t}=4[/dispmath] Sada pomnožimo sa [inlmath]t[/inlmath] uz uslov da nam [inlmath]t[/inlmath] bude različito od [inlmath]0[/inlmath].
Kao što je gore navedeno, dobije se kvadratna po [inlmath]t[/inlmath] čija su rešenja [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]. Sada vratimo smenu:
[inlmath]\frac{x^2+4x+1}{x}=3[/inlmath], čija su rešenja skup realnih brojeva. Drugi slučaj je: [inlmath]\frac{x^2+4x+1}{x}=1[/inlmath] čija su rešenja [inlmath]\frac{-3+\sqrt5}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{-3-\sqrt5}{2}[/inlmath].

Acim je napisao:[inlmath]\frac{x^2+4x+1}{x}=3[/inlmath], čija su rešenja skup realnih brojeva.

Verovatno si ovde hteo reći da ovaj slučaj nema rešenja u skupu realnih brojeva.
Ostalo je OK.