Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Celobrojna rešenja iracionalne nejednačine – prvi probni prijemni FON 2019.

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Celobrojna rešenja iracionalne nejednačine – prvi probni prijemni FON 2019.

Postod buca » Nedelja, 25. April 2021, 09:49

Prvi probni prijemni ispit FON – 9. jun 2019.
10. zadatak


Zbir svih celobrojnih rešenja nejednačine [inlmath]\sqrt{2-\sqrt{x+3}}<\sqrt{x+4}[/inlmath] je [inlmath]-2[/inlmath].

Ja uporno dobijam [inlmath]-3[/inlmath].

Jel neko vec resavao ovaj zadatak? Gde bi mogla biti greska?
buca  OFFLINE
 
Postovi: 65
Zahvalio se: 26 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Celobrojna rešenja iracionalne nejednačine – prvi probni prijemni FON 2019.

Postod Acim » Nedelja, 25. April 2021, 10:17

Moguće da si nešto zeznuo oko uslova pa si dobio pogrešne intervale, a samim tim i celobrojne vrednosti.
Kako ovde imamo više kvadratnih korena, treba da važe sledeći uslovi;
[inlmath]\sqrt{x+3}\ge0[/inlmath], [inlmath]\sqrt{2-\sqrt{x+3}}\ge0[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{x+4}\ge0[/inlmath]
Kad rešiš te uslove, onda tek smeš da kvadriraš i sad u zavisnosti šta dobiješ nakon tog kvadriranja ([inlmath]P(x)[/inlmath], manje/veće od [inlmath]Q(x)[/inlmath]) radiš shodno pravilima za te nejednačine.
Kad ta rešenja spakuješ sa uslovom, trebalo bi da dobiješ tačno rešenje. Btw nisam rešavao tu nejednačinu još uvek, ali se nadam da će ti biti korisni saveti pri rešavanju iste.
Ako negde zapne u postupku, tu smo :)
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

  • +1

Re: Celobrojna rešenja iracionalne nejednačine – prvi probni prijemni FON 2019.

Postod Vivienne » Nedelja, 25. April 2021, 11:49

Prvi uslov bi bio [inlmath]x\in[-3,1][/inlmath]

Nakon kvadraranja dobićeš
[dispmath]2-\sqrt{x+3}<x+4[/dispmath][dispmath]\sqrt{x+3}>-x-2[/dispmath][dispmath]\left(\sqrt{x+3}>-x-2\;\land\;-x-2\ge0\right)\;\lor\;(x+3\ge0\;\land\;-x-2<0)[/dispmath] Konačno treba da dobiješ [inlmath]x\in\left(\frac{-3-\sqrt5}{2},1\right][/inlmath], pa će zbir celobrojnih rešenja biti [inlmath]-2[/inlmath].
 
Postovi: 71
Zahvalio se: 42 puta
Pohvaljen: 92 puta

  • +2

Re: Celobrojna rešenja iracionalne nejednačine – prvi probni prijemni FON 2019.

Postod Frank » Nedelja, 25. April 2021, 17:48

Vivienne je napisao:Prvi uslov bi bio [inlmath]x\in[-3,1][/inlmath]

Ne moramo ni da rešavamo nejednačinu. Dovoljno je da svaki (ceo) broj iz oblasti definisanosti uvrstimo u početnu nejednačinu i utvrdimo za koju će vrednost (vrednosti) [inlmath]x[/inlmath]-a ista biti zadovoljena.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +1

Re: Celobrojna rešenja iracionalne nejednačine – prvi probni prijemni FON 2019.

Postod Daniel » Nedelja, 25. April 2021, 21:12

Acim je napisao:[inlmath]\sqrt{x+3}\ge0[/inlmath], [inlmath]\sqrt{2-\sqrt{x+3}}\ge0[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{x+4}\ge0[/inlmath]

Verovatno si mislio na uslove [inlmath]x+3\ge0[/inlmath], [inlmath]2-\sqrt{x+3}\ge0[/inlmath] i [inlmath]x+4\ge0[/inlmath], tj. ne trebaju ti koreni (uslovi nenegativnosti potkorenih veličina).
Sami kvadratni koreni su svakako nenegativni (onda kad su definisani).

Vivienne je napisao:[dispmath]\sqrt{x+3}>-x-2[/dispmath][dispmath]\left(\sqrt{x+3}>-x-2\;\land\;-x-2\ge0\right)\;\lor\;({\color{red}x+3\ge0}\;\land\;-x-2<0)[/dispmath]

Crveni uslov je suvišan, budući da je već postavljen na samom početku zadatka, tj, već je postavljen uslov da su koreni definisani.

Frank je napisao:Ne moramo ni da rešavamo nejednačinu. Dovoljno je da svaki (ceo) broj iz oblasti definisanosti uvrstimo u početnu nejednačinu i utvrdimo za koju će vrednost (vrednosti) [inlmath]x[/inlmath]-a ista biti zadovoljena.

Nije zgoreg ipak znati za ceo ovaj postupak. Šta da smo, recimo, u nekom sličnom zadatku za oblast definisanosti dobili [inlmath][-100,100][/inlmath]? :)

buca je napisao:Jel neko vec resavao ovaj zadatak? Gde bi mogla biti greska?

Ako već od forumaša očekuješ da ti kažu gde bi mogla biti greška u tvom postupku, valjda je onda logično i da priložiš taj svoj postupak (kao što, ne bez razloga, izričito i kaže tačka 6. Pravilnika).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Celobrojna rešenja iracionalne nejednačine – prvi probni prijemni FON 2019.

Postod Acim » Nedelja, 25. April 2021, 21:57

Da, da, na to sam mislio, nego po navici slučajno stavio :)
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Re: Celobrojna rešenja iracionalne nejednačine – prvi probni prijemni FON 2019.

Postod buca » Utorak, 27. April 2021, 08:15

[inlmath]x+4\ge0\quad x+3\ge0\quad2-\sqrt{x+3}\ge0[/inlmath] - To je [inlmath]x\in[-3,1][/inlmath]
[inlmath]\sqrt{2-\sqrt{x+3}}<\sqrt{x+4}[/inlmath]
[inlmath]\sqrt{x+3}>x+2[/inlmath]
[inlmath]x^2+3x+1<0[/inlmath]
[inlmath]\displaystyle\frac{-3-\sqrt5}{2}\approx-2.6\quad\frac{-3+\sqrt5}{2}\approx-0.4[/inlmath]
[inlmath]x\in(-2.6,-0.4)[/inlmath] i na kraju [inlmath]-2-1=-3[/inlmath]
To je moj postupak.
buca  OFFLINE
 
Postovi: 65
Zahvalio se: 26 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Celobrojna rešenja iracionalne nejednačine – prvi probni prijemni FON 2019.

Postod Daniel » Utorak, 27. April 2021, 13:17

E tako, sad možemo da prokomentarišemo.
Rešenje ti je slučajno ispalo tačno, jer postupak nije dobar.

buca je napisao:[inlmath]\sqrt{2-\sqrt{x+3}}<\sqrt{x+4}[/inlmath]
[inlmath]\sqrt{x+3}>{\color{red}x+2}[/inlmath]

Iz [inlmath]\sqrt{2-\sqrt{x+3}}<\sqrt{x+4}[/inlmath] treba da se dobije [inlmath]\sqrt{x+3}>{\color{red}-x-2}[/inlmath]. A zatim posmatraš slučajeve onako kako su ti prethodnici pokazali.

A da se kojim slučajem i dobilo to što si napisao, [inlmath]\sqrt{x+3}>x+2[/inlmath], tada bi i [inlmath]x=-3[/inlmath] spadalo u moguća celobrojna rešenja (u šta se i možeš uveriti uvrštavanjem). Rešenje [inlmath]x=-3[/inlmath] svojim postupkom nisi dobio, jer si jednostavno kvadrirao obe strane, ali nisi razmatrao slučaj da je desna strana manja od nule, kada bi nejednačina takođe bila zadovoljena (jer je leva strana [inlmath]\ge0[/inlmath]).
Naravno, da ne bude zabune, [inlmath]x=-3[/inlmath] ne spada u rešenja originalno postavljenog zadatka, to rešenje bi se dobilo samo kada bi nastavio da rešavaš pogrešno dobijenu nejednačinu [inlmath]\sqrt{x+3}>x+2[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 49 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 06:31 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs