MATEMANIJA

Drugi probni prijemni ispit FON – 23. jun 2016.
11. zadatak

Skup svih rešenja nejednačine [inlmath]\log_{x-1}\left(x+1\right)>\log_\sqrt{x-1}\left(x-1\right)[/inlmath] je;
Tačan odgovor je [inlmath]\left(2,3\right)[/inlmath]

Pre svega sam postavio uslov, tj. domen - [inlmath]x\in\left(1,2\right)\cup\left(2,+\infty\right)[/inlmath]

Nakon sređivanja n-jne, radimo 2 slučaja;

1. Kada je baza veća od [inlmath]1[/inlmath] i tada znak ostaje isti
2. Kada je baza između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] i tada se znak menja.

Za prvi slučaj, domen je [inlmath]x\in\left(2,+\infty\right)[/inlmath] i u okviru njega dobijam;
[dispmath]x+1>x^2-2x+1[/dispmath] Čiji je skup rešenja [inlmath]x\in\left(0,3\right)[/inlmath] a u preseku sa domenom iz prvog slučaja dobijamo skup [inlmath]\left(2,3\right)[/inlmath]
Sada, presek prvog slučaja i početnog domena je (igrom slučaja) takođe [inlmath]x\in\left(2,3\right)[/inlmath].

Sada 2. slučaj - njegov domen je [inlmath]x\in\left(1,2\right)[/inlmath];
[inlmath]x+1<x^2-2x+1[/inlmath], čiji je skup rešenja [inlmath]\left(-\infty,0\right)\cup\left(3,+\infty\right)[/inlmath]
U preseku sa uslovom iz drugog slučaja dobijam prazan skup. E sad, da li onda ima potrebe da radim presek sa početnim domenom, jer nam je presek drugog slučaja bez domena prazan skup?
Probao sam presek drugog slučaja (samo početni domen), čisto da vidim šta ću dobiti ako to uradim i dobijam [inlmath]x\in\left(1,2\right)\cup\left(2,+\infty\right)[/inlmath], što mislim da je pogrešan korak, jer na kraju treba da ide unija prvog i drugog slučaja. Vodeći se prethodnim korakom dobio bih da je unija [inlmath]\left(1,3\right)[/inlmath], što je pogrešno, a ako ne bih to uradio onda mi ostaje samo rešenje iz prvog slučaja - [inlmath]\left(2,3\right)[/inlmath] što je i tačno rešenje.
Da li sam uradio zadatak kako treba, ili sam na neki način slučajno pogodio rešenje, pošto nisam baš siguran u tačnost mog postupka?
Hvala unapred.

Kada si rastavljao na slucajeve ti si i uradio presek sa pocetnim domenom, tako da nema potrebe da rezultat proveravas sa pocetnim domenom.

Acim je napisao:Sada, presek prvog slučaja i početnog domena je (igrom slučaja) takođe [inlmath]x\in\left(2,3\right)[/inlmath].

Znaci ovo je nepotrebno i nije igrom slucaja isto.

Acim je napisao:E sad, da li onda ima potrebe da radim presek sa početnim domenom, jer nam je presek drugog slučaja bez domena prazan skup?

Nema potrebe.

emi je napisao:Znaci ovo je nepotrebno i nije igrom slucaja isto.

Mislio sam figurativno, tako mi se potrefilo da mi je isto kao kod tog dela
Hvala na pomoći. Inače, generalno kad mi se nalazi [inlmath]x[/inlmath] u osnovi uvek spajam sa početnim domenom i prvi i drugi slučaj, kako bih izbegao eventualne greške.