Rešenja kvadratne jednačine s parametrom – prvi probni prijemni FON 2015.
Poslato: Četvrtak, 27. Maj 2021, 14:40
Drugi probni prijemni ispit FON – 13. jun 2015.
10. zadatak
Ako su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] rešenja jednačine [inlmath]x^2+\left(m-2\right)x+m=0[/inlmath], [inlmath]m\in\mathbb{R}[/inlmath], onda je najmanja vrednost izraza [inlmath]x_1^2+x_1x_2+x^2_2[/inlmath] jednaka;
Tačan odgovor je [inlmath]-\frac{9}{4}[/inlmath]
U ovom zadatku nikako ne mogu da pronađem gde sam grešku napravio.
Prema Vietovim formulama, imamo da je [inlmath]x_1+x_2=2-m[/inlmath] a [inlmath]x_1x_2=m[/inlmath]
Iz njih dobijamo;
[dispmath]\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2[/dispmath] Na kraju se svodi na oblik [inlmath]m^2-5m+4=0[/inlmath] i kako nam se traži da izraz bude minimalan, tražimo prvi izvod, a to je;
[dispmath]2m=5[/dispmath] tj
[inlmath]m=\frac{5}{2}[/inlmath] što nije tačan rezultat.
Gde sam mogao da napravim propust?
10. zadatak
Ako su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] rešenja jednačine [inlmath]x^2+\left(m-2\right)x+m=0[/inlmath], [inlmath]m\in\mathbb{R}[/inlmath], onda je najmanja vrednost izraza [inlmath]x_1^2+x_1x_2+x^2_2[/inlmath] jednaka;
Tačan odgovor je [inlmath]-\frac{9}{4}[/inlmath]
U ovom zadatku nikako ne mogu da pronađem gde sam grešku napravio.
Prema Vietovim formulama, imamo da je [inlmath]x_1+x_2=2-m[/inlmath] a [inlmath]x_1x_2=m[/inlmath]
Iz njih dobijamo;
[dispmath]\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2[/dispmath] Na kraju se svodi na oblik [inlmath]m^2-5m+4=0[/inlmath] i kako nam se traži da izraz bude minimalan, tražimo prvi izvod, a to je;
[dispmath]2m=5[/dispmath] tj
[inlmath]m=\frac{5}{2}[/inlmath] što nije tačan rezultat.
Gde sam mogao da napravim propust?