Stranica 1 od 1

Rešenja kvadratne jednačine s parametrom – prvi probni prijemni FON 2015.

PostPoslato: Četvrtak, 27. Maj 2021, 14:40
od Acim
Drugi probni prijemni ispit FON – 13. jun 2015.
10. zadatak


Ako su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] rešenja jednačine [inlmath]x^2+\left(m-2\right)x+m=0[/inlmath], [inlmath]m\in\mathbb{R}[/inlmath], onda je najmanja vrednost izraza [inlmath]x_1^2+x_1x_2+x^2_2[/inlmath] jednaka;
Tačan odgovor je [inlmath]-\frac{9}{4}[/inlmath]

U ovom zadatku nikako ne mogu da pronađem gde sam grešku napravio.
Prema Vietovim formulama, imamo da je [inlmath]x_1+x_2=2-m[/inlmath] a [inlmath]x_1x_2=m[/inlmath]
Iz njih dobijamo;
[dispmath]\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2[/dispmath] Na kraju se svodi na oblik [inlmath]m^2-5m+4=0[/inlmath] i kako nam se traži da izraz bude minimalan, tražimo prvi izvod, a to je;
[dispmath]2m=5[/dispmath] tj
[inlmath]m=\frac{5}{2}[/inlmath] što nije tačan rezultat.
Gde sam mogao da napravim propust?

Re: Rešenja kvadratne jednačine s parametrom – prvi probni prijemni FON 2015.

PostPoslato: Četvrtak, 27. Maj 2021, 15:35
od Vivienne
Za [inlmath]m=\frac{5}{2}[/inlmath] treba da izračunaš najmanju vrednost izraza, vrati samo [inlmath]m[/inlmath] u izraz i to je to.

Re: Rešenja kvadratne jednačine s parametrom – prvi probni prijemni FON 2015.

PostPoslato: Utorak, 01. Jun 2021, 00:35
od Daniel
Acim je napisao:Na kraju se svodi na oblik [inlmath]m^2-5m+4{\color{red}=0}[/inlmath]

Ne treba ti ovde [inlmath]=0[/inlmath]. Dakle, samo [inlmath]m^2-5m+4[/inlmath], i tražiš kolika je minimalna vrednost tog izraza.

A da bi našao njegovu minimalnu vrednost, nije čak ni potrebno da izjednačavaš njegov prvi izvod s nulom, niti da računaš [inlmath]m[/inlmath]. Pošto je u pitanju kvadratna funkcija po [inlmath]m[/inlmath], dovoljno je primeniti formulu za [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu temena kvadratne funkcije, [inlmath]y_T=\frac{4ac-b^2}{4a}[/inlmath] (ovde će, naravno, biti [inlmath]a=1[/inlmath], [inlmath]b=-5[/inlmath] i [inlmath]c=4[/inlmath]).

Re: Rešenja kvadratne jednačine s parametrom – prvi probni prijemni FON 2015.

PostPoslato: Četvrtak, 03. Jun 2021, 20:38
od buca
Poz Daniele!

Kako znamo kad treba upotrebiti [inlmath]\displaystyle-\frac{D}{4a}[/inlmath] a kad [inlmath]\displaystyle-\frac{b}{2a}[/inlmath]? Znam da se te dve formule vrte kad su ekstremne vrednosti u pitanju ali ne znam kad koju treba upotrebiti.

Ako moze savet, bio bih vrlo zahvalan. Ova nedoumica me muci i posle desetine uradjenih zadataka iz ove oblasti.

Re: Rešenja kvadratne jednačine s parametrom – prvi probni prijemni FON 2015.

PostPoslato: Petak, 04. Jun 2021, 00:18
od Daniel
Poz buco! Teme kvadratne funkcije, kao i svaka druga tačka u koordinatnom sistemu, ima svoju [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu i svoju [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu:

koordinate temena.png
koordinate temena.png (886 Bajta) Pogledano 1657 puta

[inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena računa se po formuli [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/inlmath], a [inlmath]y[/inlmath]-koordinata se računa po formuli [inlmath]y_T=-\frac{D}{4a}[/inlmath].

A to znači sledeće (pogledaj gornji grafik):
  • Kad se traži vrednost nezavisne promenljive [inlmath]x[/inlmath] za koju će kvadratna funkcija imati ekstremnu vrednost, to znači da tražimo [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu temena, i tada koristimo formulu [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/inlmath];
  • Kad se traži maksimalna (za [inlmath]a<0[/inlmath]) ili minimalna (za [inlmath]a>0[/inlmath]) vrednost koju kvadratna funkcija može da dostigne, to znači da tražimo [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu temena, i tada koristimo formulu [inlmath]y_T=-\frac{D}{4a}[/inlmath].
Nadam se da je ovo bio odgovor na tvoje pitanje.

Re: Rešenja kvadratne jednačine s parametrom – prvi probni prijemni FON 2015.

PostPoslato: Utorak, 08. Jun 2021, 11:32
od buca
Jeste samo mi nije jasno kako sad da upotrebim ovo sto si rekao u zadacima.

Evo na primer: Ako su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] realna rešenja jednačine [inlmath]2x^2+2(m−1)x+m^2+m+2=0[/inlmath], [inlmath]m\in\mathbb{R}[/inlmath], onda je najveća vrednost izraza [inlmath]|x_1−x_2|[/inlmath] jednaka: [inlmath]1[/inlmath].

Koliko sam ja shvatio, ovde nam treba vrednost za koju ce funkcija [inlmath]|x_1−x_2|[/inlmath] imati ekstremnu vrednost i zbog toga treba koristiti [inlmath]-\displaystyle\frac{b}{2a}[/inlmath] formulu. Jel tako?

Inace, hvala ti puno na savetima do sad.

Re: Rešenja kvadratne jednačine s parametrom – prvi probni prijemni FON 2015.

PostPoslato: Četvrtak, 10. Jun 2021, 14:09
od Daniel
Nema na čemu!

Taj zadatak smo, inače, baš i imali pre desetak dana, ovde. Jesi li ga pogledao? Ako imaš pitanja oko tog zadatka, najbolje je da ih postaviš u toj temi.

Re: Rešenja kvadratne jednačine s parametrom – prvi probni prijemni FON 2015.

PostPoslato: Nedelja, 27. Jun 2021, 14:03
od buca
Pogledao sam, i jos uvek mi nije jasno kad se trazi [inlmath]x_T[/inlmath] a kad [inlmath]y_T[/inlmath]. Nekako mi deluje kao da se trazi ista stvar (sto znam da nije stvarno slucaj).