MATEMANIJA

Drugi probni prijemni ispit FON – 23. jun 2016.
6. zadatak

Ako su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] realna rešenja jednačine [inlmath]2x^2+2\left(m-1\right)x+m^2+m+2=0[/inlmath], [inlmath]m\in\mathbb{R}[/inlmath], onda je najveća vrednost izraza [inlmath]\left|x_1-x_2\right|[/inlmath] jednaka;
Tačan odgovor je [inlmath]1[/inlmath].

Prema Vietovim formulama imamo da je [inlmath]x_1+x_2=1-m[/inlmath] i [inlmath]x_1x_2=\frac{m^2+m+2}{2}[/inlmath]
[inlmath]\left|x_1-x_2\right|[/inlmath] je kad se kvadrira i sredi; [inlmath]\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}[/inlmath]

Kada zamenim vrednosti i sredim izraz, dobijam;
[dispmath]\sqrt{-m^2-4m-3}[/dispmath] Kako se traži u zadatku najveća vrednost, koristio sam prvi izvod i krajnje rešenje mi je;
[dispmath]m=-2[/dispmath] što je pogrešno.
Nešto mi govori da sam izostavio neki deo zadatka, ali opet nisam siguran gde sam napravio grešku. Padalo mi je na pamet da stavim da mi je [inlmath]D\ge0[/inlmath], pošto su rešenja realna, al opet, ne vidim šta bih postigao time.
Hvala unapred na sugestiji!

Pogledaj šta si izračunao i pogledaj šta se traži u zadatku. Isti problem kao i ovde

Greška na gluposti, kao i obično...
Hvala.

Acim je napisao:Padalo mi je na pamet da stavim da mi je [inlmath]D\ge0[/inlmath], pošto su rešenja realna, al opet, ne vidim šta bih postigao time.

To svakako treba da se uradi, jer čim je u tekstu zadatka rečeno da su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] realna rešenja, uslov svih uslova da bismo bilo šta dalje radili to je da je [inlmath]D\ge0[/inlmath].

Doduše – bez postavljanja tog uslova, ako bi dobijena vrednost parametra [inlmath]m[/inlmath] odgovarala konjugovano-kompleksnim rešenjima, uvrštavanjem te vrednosti [inlmath]m[/inlmath] u [inlmath]\sqrt{-m^2-4m-3}[/inlmath], potkorena veličina bi bila negativna, pa bismo odmah videli da tu nešto ne valja.
Međutim, ovde se odmah vidi da je potkorena veličina kvadratna funkcija po [inlmath]m[/inlmath] kojoj je maksimalna vrednost pozitivna, tako da će se u ovom slučaju, izjednačavanjem prvog izvoda s nulom, dobiti vrednost [inlmath]m[/inlmath] za koje će rešenja sigurno biti realna.
Ali, da ne bismo mnogo razmišljali, najjednostavnije je (a i najsigurnije) lepo postaviti uslov [inlmath]D\ge0[/inlmath].

Frank je napisao:Pogledaj šta si izračunao i pogledaj šta se traži u zadatku. Isti problem kao i ovde

Kod linkovanog zadatka razlika je samo u tome što se u njemu ne traži da rešenja budu realna.