Vrijednost koeficijenta uz x² je 1 što je veće od nule pa je grafik funkcije
y = x² + x – 6 konkavan.
Faktorizacija funkcije y = x² + x – 6 daje:
y = x² + x - 6 = ( x + 3 ) ( x - 2 )
pa su nul tačke ove kvadratne jednačine:
x = - 3 , x = 2
U intervalu ( - ∞ , - 3 ] i u intervalu ( 2 , ∞ ] vrijednost kvadratne funkcije je pozitivna odn.
y = x² + x – 6 > 0
Obzirom da je za n > 0
| n | > n
biće
| x² + x - 6 | = x² + x - 6
x ∈ (- ∞ , - 3 ] ∪ [ 2 , ∞ )
U intervalu [ - 3 , 2 ] vrijednost kvadratne funkcije y = x² + x – 6 je negativna odn:
y = x² + x – 6 < 0
x ∈ [ - 3 , 2 ]
Na osnovu definicije apsolutne vrijednosti:
| - n | = n
| x² + x - 6 | = - 1 ∙ ( x² + x - 6 ) = - x² - x + 6
x ∈ ( - 3 , 2 )
Ovo znači da na intervalu x ∈ ( - 3 , 2 ) negativne vrijednosti funkcije y = x² + x - 6 treba pomnožiti sa - 1 da bi postale pozitivne.
Dio grafika koji nam je interesantan možeš vidjeti na ovom linku:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y ... D+-+5+to+5uz napomenu da ovaj link ne možeš otvoriti u Internet exploreru ali možeš u edgeu, Operi ili Google chromu.
Kosa prava linija, što y = a - 3 x jeste, može dodirivati kvadratnu funkciju u dvije tačke ili u jednoj tački.
U ovom slučaju bilo koja kosa prva linija koja dodiruje funkciju x² + x – 6 dodirivaće je u dvije tačke.
To znači da bi funkcija | x² + x - 6 | imala tri rješenja linija y = a - 3 x mora dodirivati funkciju y = - x² - x + 6 0 u jednoj tački, odn. mora biti tangenta krive y = - x² - x + 6
u nekoj od tačaka na intervalu x ∈ ( - 3 , 2 )
Linija y = a - 3 x je isto što i y = - 3 x + a
Opšta jednačina pravca je:
y = m x + l
gdje je
m = tangens ugla koji linija zaklapa sa pozitivnim smjerom x ose
l = odsječak na y osi
To znači da je tangens ugla koji linija zaklapa sa pozitivnim smjerom x ose već zadan:
m = tan α = - 3
Sada moraju biti ispunjena dva uslova:
Obzirom da je nagib tangente na neku krivulju jednak prvom izvodu jednačine te krivulje prvi izvodi funkcije
- x² - x + 6 i funkcije - 3 x + a moraju biti jednaki.
( - x² - x + 6 )' = ( - 3 x + a )'
- 2 x - 1 = - 3
- 2 x = - 3 + 1
- 2 x = - 2
x = 1
Obzirom da su apcise tangente i krivulje u tački dodira međusobno jednake:
imamo i drugi uslov:
- x² - x + 6 = - 3 x + a
za x = 1 je:
- 1² - 1 + 6 = - 3 ∙ 1 + a
- 1 - 1 + 6 = - 3 + a
- 2 + 6 = - 3 + a
4 = - 3 + a
4 + 3 = a
7 = a
a = 7
Postoji još jedan uslov da bi funkcija | x² + x - 6 | imala tri rješenja a to je da linija
y = a - 3 x dodiruje funkciju - x² - x + 6 u dvije tačke a liniju x² + x - 6 u jednoj tački na intervalu x ∈ ( - 3 , 2)
Sa grafika je očigledno da linija y = a - 3 x mora prolaziti kroz tačku ( 2 , 0 ) jer bi za x < 2 dodirivala funkciju
- x² - x + 6 u samo jednoj tački, a za x > 2 je ne bi dodirivala uopšte.
Sada primjenimo formulu za jednačinu pravca kroz jednu tačku kada znamo nagib tog pravca:
y - y1 = m ( x - x1 )
U ovom slučaje je:
m = - 3 , x1 = 2 , y1 = 0
pa je
y - 0 = - 3 ( x - 2 )
y = - 3 x + 6
y = 6 - 3 x
što za liniju y = a - 3 x daje:
a = 6
Grafik rješenja možeš vidjeti na ovom linku:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y ... D+-+7+to+3Na osnovu grafika se može zaključiti da ima još pravih linija koje dodiruju funkciju
y = | x² + x - 6 | u tri tačke, ali su jedina dva rješenja za koje je m = - 3
a = 6 i a = 7