MATEMANIJA

Odrediti bar jednu vrednost realnog parametra [inlmath]a[/inlmath] za koju jednacina
[dispmath]\left|x^2+x-6\right|=a-3x[/dispmath] ima tri realna resenja.
(Resenje je [inlmath]a=3[/inlmath])

Da li moze neko da mi objasni postupak ovakvih zadataka? Da li ovo treba da radim preko vietovih formula [inlmath]x_1[/inlmath], [inlmath]x_2[/inlmath], [inlmath]x_3[/inlmath] ili diskriminante?

Ovo je najlakše uraditi grafički (možeš pogledati ovaj post). Skicira se oblik funkcije na levoj strani, dok za desnu stranu znamo da je to linearna funkcija s koeficijentom pravca [inlmath]-3[/inlmath].
Promenom parametra [inlmath]a[/inlmath], faktički vršimo transliranje te linearne funkcije, i podesimo njen položaj tako da s funkcijom na levoj strani ima tri presečne tačke.
Inače, za ovako zadat zadatak rešenje ne bi bilo [inlmath]a=3[/inlmath], već bi rešenja bila [inlmath]a=6[/inlmath] i [inlmath]a=7[/inlmath].

Izvinjavam se što ponovo pokrećem temu staru mesec dana, ali me zanima, da li se do ovih vrednosti za parametar moglo doći nekako i računskim putem? Ovo pitam zbog toga što nisam siguran kako sa slike mogu videti da su rešenja baš [inlmath]6[/inlmath] i [inlmath]7[/inlmath], a ne neka vrednost koja je približna tim brojevima. Grafička metoda mi je dosta korisna kada se traži presek sa pravom [inlmath]y=a[/inlmath], za razliku od ove koja je data u ovom zadatku.

Ono što sa slike definitivno mogu da uočim je da postoje dva rešenja za [inlmath]a[/inlmath] i to da za jednu od vrednosti [inlmath]a[/inlmath], jedan od preseka sa pravom [inlmath]y=a-3x[/inlmath] će biti baš u tački [inlmath](2,0)[/inlmath], pa kada uvrstim [inlmath]x=2[/inlmath] u početni izraz, dobiću vrednost da je [inlmath]a=6[/inlmath]. Međutim, kao što sam rekao, sa slike se vidi da to nije jedino rešenje. Upravo to drugo rešenje meni predstavlja problem, jer za njega ne mogu kao kod prvog slučaja da nađem neku tačku, pa da vrednost za [inlmath]x[/inlmath] ubacim u početni izraz, ali ono što sam primetio je da je jedna od tih tačaka tangenta na stomačić funkcije. Da li nekako računski mogu naći tu tačku dodira?

I naravno, ukoliko postoje još neke računske metode za nalaženje ovog parametra, voleo bih da čujem i te ideje.

Mihajlo Miki je napisao:da li se do ovih vrednosti za parametar moglo doći nekako i računskim putem?

Pa, može. Ali, zbog obima posla, taj način definitivno ne bih preporučio na prijemnom (i uopšte bilo kakvom) ispitu. Radi se zasebno za slučaj kada je izraz unutar apsolutne zagrade [inlmath]\ge0[/inlmath] i kada je [inlmath]<0[/inlmath]. Da bi jednačina imala ukupno tri realna rešenja, potrebno je ili da u prvom slučaju ima jedno a u drugom dva realna rešenja, ili obratno. (Naravno, nemoguće je da u nekom od ta dva slučaja bude tri ili više rešenja.) Znači, nađe se skup vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath] za koji će ovo biti zadovoljeno.
Pa eto, ko želi da vežba, može uraditi i na taj način. Ako bude potrebno, mogu dati i nešto detaljnije smernice.

Mihajlo Miki je napisao:Upravo to drugo rešenje meni predstavlja problem, jer za njega ne mogu kao kod prvog slučaja da nađem neku tačku, pa da vrednost za [inlmath]x[/inlmath] ubacim u početni izraz, ali ono što sam primetio je da je jedna od tih tačaka tangenta na stomačić funkcije. Da li nekako računski mogu naći tu tačku dodira?

Sasvim ti je ispravno razmišljanje. Tačku dodira „stomačića“ krive [inlmath]\left|x^2+x-6\right|[/inlmath] i krive (tj. prave) [inlmath]a-3x[/inlmath] možemo naći izjednačavanjem ova dva izraza (pri čemu je [inlmath]\left|x^2+x-6\right|=-x^2-x+6[/inlmath], zato što posmatramo deo grafika kvadratne funkcije koji je ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose), odakle dobijamo [inlmath]x^2-2x+a-6=0[/inlmath]. Broj realnih rešenja ove jednačine pokazuje nam koliko će zajedničkih tačaka imati ove dve krive. Pošto je nama potrebno da se dodiruju, tj. da imaju jednu zajedničku tačku, to ova kvadratna jednačina treba da ima jedno realno rešenje (neki bi rekli dva međusobno jednaka realna rešenja, al' dobro sad). A to će biti slučaj onda kada je njena diskriminanta jednaka nuli. Dakle, izjednačimo diskriminantu s nulom i nađemo [inlmath]a[/inlmath].

Drugi način bi bio preko izvoda. Pošto [inlmath]a-3x[/inlmath] treba da nam bude tangenta na [inlmath]-x^2-x+6[/inlmath], mi zapravo treba da nađemo tačku krive [inlmath]-x^2-x+6[/inlmath] u kojoj će koeficijent pravca tangente biti [inlmath]-3[/inlmath]. To znači, nađemo prvi izvod (jer on predstavlja koeficijent pravca tangente u datoj tački krive) i izjednačimo ga sa [inlmath]-3[/inlmath]. Dobićemo [inlmath]x=1[/inlmath], što predstavlja [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu tražene tačke dodira. Nađemo [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu te tačke, uvrstimo u [inlmath]y=a-3x[/inlmath], i odatle odredimo [inlmath]a[/inlmath].

Vrijednost koeficijenta uz x² je 1 što je veće od nule pa je grafik funkcije

y = x² + x – 6 konkavan.

Faktorizacija funkcije y = x² + x – 6 daje:

y = x² + x - 6 = ( x + 3 ) ( x - 2 )

pa su nul tačke ove kvadratne jednačine:

x = - 3 , x = 2

U intervalu ( - ∞ , - 3 ] i u intervalu ( 2 , ∞ ] vrijednost kvadratne funkcije je pozitivna odn.

y = x² + x – 6 > 0

Obzirom da je za n > 0

| n | > n

biće

| x² + x - 6 | = x² + x - 6

x ∈ (- ∞ , - 3 ] ∪ [ 2 , ∞ )

U intervalu [ - 3 , 2 ] vrijednost kvadratne funkcije y = x² + x – 6 je negativna odn:

y = x² + x – 6 < 0

x ∈ [ - 3 , 2 ]

Na osnovu definicije apsolutne vrijednosti:

| - n | = n

| x² + x - 6 | = - 1 ∙ ( x² + x - 6 ) = - x² - x + 6

x ∈ ( - 3 , 2 )

Ovo znači da na intervalu x ∈ ( - 3 , 2 ) negativne vrijednosti funkcije y = x² + x - 6 treba pomnožiti sa - 1 da bi postale pozitivne.

Dio grafika koji nam je interesantan možeš vidjeti na ovom linku:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y ... D+-+5+to+5

uz napomenu da ovaj link ne možeš otvoriti u Internet exploreru ali možeš u edgeu, Operi ili Google chromu.


Kosa prava linija, što y = a - 3 x jeste, može dodirivati kvadratnu funkciju u dvije tačke ili u jednoj tački.

U ovom slučaju bilo koja kosa prva linija koja dodiruje funkciju x² + x – 6 dodirivaće je u dvije tačke.

To znači da bi funkcija | x² + x - 6 | imala tri rješenja linija y = a - 3 x mora dodirivati funkciju y = - x² - x + 6 0 u jednoj tački, odn. mora biti tangenta krive y = - x² - x + 6

u nekoj od tačaka na intervalu x ∈ ( - 3 , 2 )

Linija y = a - 3 x je isto što i y = - 3 x + a

Opšta jednačina pravca je:

y = m x + l

gdje je

m = tangens ugla koji linija zaklapa sa pozitivnim smjerom x ose

l = odsječak na y osi

To znači da je tangens ugla koji linija zaklapa sa pozitivnim smjerom x ose već zadan:

m = tan α = - 3

Sada moraju biti ispunjena dva uslova:

Obzirom da je nagib tangente na neku krivulju jednak prvom izvodu jednačine te krivulje prvi izvodi funkcije

- x² - x + 6 i funkcije - 3 x + a moraju biti jednaki.

( - x² - x + 6 )' = ( - 3 x + a )'

- 2 x - 1 = - 3

- 2 x = - 3 + 1

- 2 x = - 2

x = 1

Obzirom da su apcise tangente i krivulje u tački dodira međusobno jednake:
imamo i drugi uslov:

- x² - x + 6 = - 3 x + a

za x = 1 je:

- 1² - 1 + 6 = - 3 ∙ 1 + a

- 1 - 1 + 6 = - 3 + a

- 2 + 6 = - 3 + a

4 = - 3 + a

4 + 3 = a

7 = a

a = 7

Postoji još jedan uslov da bi funkcija | x² + x - 6 | imala tri rješenja a to je da linija
y = a - 3 x dodiruje funkciju - x² - x + 6 u dvije tačke a liniju x² + x - 6 u jednoj tački na intervalu x ∈ ( - 3 , 2)

Sa grafika je očigledno da linija y = a - 3 x mora prolaziti kroz tačku ( 2 , 0 ) jer bi za x < 2 dodirivala funkciju

- x² - x + 6 u samo jednoj tački, a za x > 2 je ne bi dodirivala uopšte.

Sada primjenimo formulu za jednačinu pravca kroz jednu tačku kada znamo nagib tog pravca:

y - y1 = m ( x - x1 )

U ovom slučaje je:

m = - 3 , x1 = 2 , y1 = 0

pa je

y - 0 = - 3 ( x - 2 )

y = - 3 x + 6

y = 6 - 3 x

što za liniju y = a - 3 x daje:

a = 6

Grafik rješenja možeš vidjeti na ovom linku:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y ... D+-+7+to+3

Na osnovu grafika se može zaključiti da ima još pravih linija koje dodiruju funkciju
y = | x² + x - 6 | u tri tačke, ali su jedina dva rješenja za koje je m = - 3
a = 6 i a = 7