MATEMANIJA

Imam problem sa rešavanjem ove iracionalne nejednačine:
[dispmath]\frac{1}{\sqrt{1+x}}-\frac{1}{\sqrt{1-x}}\ge1[/dispmath] Rešenje je: [inlmath]x\in\left(-1,-\sqrt{2\sqrt3-3}\right][/inlmath].

Ono što sam ja radio je prebacivanje jedinice na levu stranu i dovođenje na zajednički imenilac. Da bi čitav izraz sada bio veći ili jednak [inlmath]0[/inlmath], ono što je iznad razlomačke crte treba biti veće ili jednako [inlmath]0[/inlmath], a ispod nje, veće od [inlmath]0[/inlmath], jer sam brojilac ne sme biti [inlmath]0[/inlmath].

Sređivanjem izraza iznad razlomačke crte dobio sam:
[dispmath]\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}-\sqrt{1+x}\cdot\sqrt{1-x}\ge0[/dispmath][dispmath]\sqrt{1+x}+\sqrt{1+x}\cdot\sqrt{1-x}\le\sqrt{1-x}[/dispmath] Zatim sam izvukao ono što je zajedničko:
[dispmath]\sqrt{1+x}\cdot(1+\sqrt{1-x})\le\sqrt{1-x}[/dispmath] Dalje sam kvadrirao izraz, jer je on na obe strane definitivno pozitivan. Međutim, u ovom postupku, dalje nailazim na problem sa rešavanjem, jer kasnije dobijam i [inlmath]x^4[/inlmath] i [inlmath]x^3[/inlmath] (kada ostavim samo koren sa leve strane, a sve ostalo prebacim na desnu, pa ponovo kvadriram), sa kojima nikako ne mogu da se izborim. Ovakvi zadaci mi baš stvaraju muku, čine mi se kao lavirint, jer možda nije ni bilo potrebno ovo izvlačenje ispred zagrade, već možda odmah kvadriranje, itd. Kod nekih sličnih, uspem da dođem do rešenja, ali mi treba dosta vremena, što je veliki problem, s obzirom da ću na prijemnom imati samo 9 minuta po zadataku.

Mada nisi naglasio, pretpostavljam da si pre bilo kakvog otpočinjanja rešavanja postavio uslove definisanosti (dobije se [inlmath]x\in(-1,1)[/inlmath]).

Mihajlo Miki je napisao:Ono što sam ja radio je prebacivanje jedinice na levu stranu i dovođenje na zajednički imenilac. Da bi čitav izraz sada bio veći ili jednak [inlmath]0[/inlmath], ono što je iznad razlomačke crte treba biti veće ili jednako [inlmath]0[/inlmath], a ispod nje, veće od [inlmath]0[/inlmath], jer sam brojilac ne sme biti [inlmath]0[/inlmath].

Verovatno si hteo reći da imenilac ne sme biti [inlmath]0[/inlmath]. Pošto smo u startu postavili uslov definisanosti [inlmath]x\in(-1,1)[/inlmath], imenilac ne da ne sme nego i ne može biti nula, tako da smo što se toga tiče mirni. Takođe, pošto su koreni u imeniocu pozitivni (jer ne mogu biti nule), ceo razlomak će biti [inlmath]\ge0[/inlmath] onda i samo onda kada je brojilac [inlmath]\ge0[/inlmath], kao što si i zaključio.

Mihajlo Miki je napisao:[dispmath]\sqrt{1+x}\cdot(1+\sqrt{1-x})\le\sqrt{1-x}[/dispmath] Dalje sam kvadrirao izraz, jer je on na obe strane definitivno pozitivan. Međutim, u ovom postupku, dalje nailazim na problem sa rešavanjem, jer kasnije dobijam i [inlmath]x^4[/inlmath] i [inlmath]x^3[/inlmath] (kada ostavim samo koren sa leve strane, a sve ostalo prebacim na desnu, pa ponovo kvadriram),

Kao što si kasnije i pretpostavio, nije bilo potrebe izvlačiti [inlmath]\sqrt{1+x}[/inlmath] ispred zagrade, ovo donekle komplikuje postupak. Međutim, ako si nakon ovog koraka ispravno rešavao, ne bi trebalo da si dobio članove sa [inlmath]x^3[/inlmath] i sa [inlmath]x[/inlmath], već običnu bikvadratnu jednačinu čije rešavanje ne bi trebalo da bude problem:
[dispmath](1+x)\left(1+2\sqrt{1-x}+1-x\right)\le1-x\\
2(1+x)\sqrt{1-x}+(1+x)(2-x)\le1-x\\
2(1+x)\sqrt{1-x}+2+x-x^2\le1-x\\
2(1+x)\sqrt{1-x}\le x^2-2x-1\quad\Big/^2\\
4\left(1+2x+x^2\right)(1-x)\le\left(x^2-2x-1\right)^2\\
\cancel{-4x^3}-4x^2+\bcancel{4x}+4\le x^4+4x^2+1\cancel{-4x^3}+\bcancel{4x}-2x^2\\
\vdots[/dispmath] tako da ti ostaje jednačina u kojoj figurišu samo članovi sa [inlmath]x^4[/inlmath], sa [inlmath]x^2[/inlmath] i slobodan član. Bikvadratna.

Mihajlo Miki je napisao:jer možda nije ni bilo potrebno ovo izvlačenje ispred zagrade, već možda odmah kvadriranje, itd.

Upravo. Kad si došao do koraka [inlmath]\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}-\sqrt{1+x}\cdot\sqrt{1-x}\ge0[/inlmath], prebaciš [inlmath]\sqrt{1+x}\cdot\sqrt{1-x}[/inlmath] na desnu stranu (što će reći da i nisi morao jedinicu prebacivati na levu stranu, mogao si je ostaviti na desnoj i obe strane pomnožiti sa [inlmath]\sqrt{1+x}\cdot\sqrt{1-x}[/inlmath], smer znaka jednakosti se ne bi mogao promeniti jer je [inlmath]\sqrt{1+x}\cdot\sqrt{1-x}[/inlmath] pozitivno).
Zatim kvadriraj obe strane. Opet ćeš dobiti istu pomenutu bikvadratnu, nakon čega odrediš presek njenog skupa rešenja s početnim uslovima.

Hvala puno.

Ups, izvinjavam se zbog lapsusa brojilac/imenilac.
Da, nisam napomenuo uslove, ali sam ih kao i kod svih iracionalnih jednačina i nejednačina napisao na početku.
Samo da utvrdim još ove sitnice, pa da kažem da sam skroz razumeo.

Dakle iz izraza:
[dispmath]2(1+x)\sqrt{1-x}\le x^2-2x-1[/dispmath] utvrđujemo da je leva strana pozitivna, a pozitivna je, jer je i [inlmath](1+x)[/inlmath] zbog uslova [inlmath]x\in(-1,1)[/inlmath] pozitivno, pa je nakon što to utvrdimo, kvadriramo?

I, da li je onda bilo potrebno da pišemo i uslov
[dispmath]x^2-2x-1\ge0[/dispmath] s tim da je to ono što je na desnoj strani i što kvadriramo, a neće za svako [inlmath]x\in(-1,1)[/inlmath] biti veće ili jednako [inlmath]0[/inlmath]?
I ako se ispostavi da je i to potreban uslov, da li onda tražimo njegov presek sa uslovom [inlmath]x\in(-1,1)[/inlmath] i to postavljamo kao konačan uslov u kom intervalu sigurno moraju da budu rešenja ove nejednačine?

Upravo tako, nisam naglasio, ali da, mora se postaviti uslov da je [inlmath]x^2-2x-1\ge0[/inlmath], jer ako bi [inlmath]x^2-2x-1[/inlmath] bilo negativno, tada odmah vidimo da nejednačina ne bi mogla biti zadovoljena, jer bi to značilo da bi leva strana [inlmath]2(1+x)\sqrt{1-x}[/inlmath] (koja je pozitivna) bila [inlmath]\le[/inlmath] od desne strane koja je negativna, a što je naravno nemoguće.

Isto tako, ako bismo radili množenjem početnog oblika nejednačine sa [inlmath]\sqrt{1+x}\cdot\sqrt{1-x}[/inlmath], čime bismo dobili [inlmath]\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}\ge\sqrt{1+x}\cdot\sqrt{1-x}[/inlmath], morali bismo postaviti uslov pozitivnosti leve strane (jer je desna pozitivna), a to se lako izračunava rešavanjem [inlmath]\sqrt{1-x}>\sqrt{1+x}[/inlmath] pa jednostavnim kvadriranjem (jer su obe strane pozitivne). I onda još nađemo presek toga i [inlmath](-1,1)[/inlmath], i to će nam biti novi uslov za interval mogućih vrednosti [inlmath]x[/inlmath].

Hvala još jednom na detaljnom i jasnom objašnjenju.

Kada sam kasnije rešavao na drugi način (sa množenjem i bez izvlačenja ispred zagrade), video sam da i tu, u ovom slučaju za levu stranu, nismo sigurni da li je pozitivna, pa sam pretpostavio da se i za nju treba pisati uslov. Sada je sve jasno, nema više nedoumica.