MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 29. jun 2021.
19. zadatak

Zbir svih celobrojnih rešenja jednačine [inlmath]\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+8\right)\left(x+12\right)=4x^2[/inlmath] jednak je:
Tačan odgovor je [inlmath]-10[/inlmath]

Ja se konkretno kod ovog zadatka na samom prijemnom nisam snašao (probao sam [inlmath]n[/inlmath] kombinacija ali nije uspevalo ništa), ali sam nakon par dana isprobao jedan način i došao do tačnog rešenja, pa bih hteo da ga podelim sa ostalima;
Množenjem prve i četvrte, druge i treće zagrade dobijamo;
[dispmath]\left(x^2+14x+24\right)\left(x^2+11x+24\right)=4x^2[/dispmath] Sada, ceo izraz podelimo sa [inlmath]x^2[/inlmath] na sledeći način;
[dispmath]\left(\frac{x^2+14x+24}{x}\right)\cdot\left(\frac{x^2+11x+24}{x}\right)=4[/dispmath] Odavde uvedemo smenu [inlmath]x+\frac{24}{x}=t[/inlmath] odakle se dobija kvadratna j-na po [inlmath]t[/inlmath];
[dispmath]t^2+25t+150=0[/dispmath] Čija su rešenja [inlmath]-10[/inlmath] i [inlmath]-15[/inlmath]
Rešenje [inlmath]-15[/inlmath] ne uvažavamo, jer kada vratimo smenu, dobijamo kvadratnu j-nu koja nema racionalnih (a samim tim ni celobrojnih) rešenja, dok za [inlmath]-10[/inlmath] dobijamo;
[dispmath]x^2+10x+24=0[/dispmath] Njena rešenja su [inlmath]-4[/inlmath] i [inlmath]-6[/inlmath] i njihov zbir je [inlmath]-10[/inlmath] što je i rešenje zadatka.

Sve je urađeno kako treba, samo jedna mala dopuna:
Pre deljenja jednačine sa [inlmath]x^2[/inlmath] treba proveriti da li je [inlmath]0[/inlmath] jedno od rešenja jednačine (ovaj slučaj je potrebno posebno ispitati jer deljenje nulom nije definisano). To radimo tako što jednostavno uvrstimo nulu u početnu jednačinu (očigledno da nula nije rešenje jednačine jer je [inlmath]576\ne0[/inlmath]). I bez množenja brojeva na levoj strani jednačine jasno je da nula nije rešenje jednačine - na levoj strani jednačine množimo četiri broja različita od nule pa će i njihov proizvod takođe biti različit od nule.
Ovo pišem pre svega zbog onih koji se pripremaju za prijemni. Slučaj da ono s čime delimo obe strane jednačine može biti nula se dosta često zaboravi, pa baš zbog toga umeju da daju na prijemnom neki zadatak s tom zamkom. Konkretno u ovom zadatku pomenuti slučaj ne utiče na konačno rešenje, ali treba biti precizan i tačan što je više moguće...

Mali hint kod zadataka u kojima se na levoj strani množe četiri zagrade:
Ukoliko na desnoj strani jednačine nema nepoznate onda je "fora" u tome da se na levoj strani izmnože odgovarajuće zagrade (tako da nakon množenja zagrada možemo da uvedemo smenu koja će pokupiti sva [inlmath]x[/inlmath]). Nije svejedno da li ćemo izmnožiti 1. i 3. i 2. i 4. zagradu ili ćemo 1. i 4. i 2. i 3. zagradu.
Ukoliko na desnoj strani ima nepoznata onda nakon množenja odgovarajućih zagrada celu jednačinu (obe strane jednakosti) delimo sa nepoznatim (npr. [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]x+1[/inlmath], [inlmath]x^2+x[/inlmath]) na desnoj strani (kako bismo iste izgubili na desnoj strani). Naravno, pre deljenja proveriti slučaj o kojem sam govorio u ovom postu.

Frank je napisao:Pre deljenja jednačine sa [inlmath]x^2[/inlmath] treba proveriti da li je [inlmath]0[/inlmath] jedno od rešenja jednačine (ovaj slučaj je potrebno posebno ispitati jer deljenje nulom nije definisano). To radimo tako što jednostavno uvrstimo nulu u početnu jednačinu (očigledno da nula nije rešenje jednačine jer je [inlmath]576\ne0[/inlmath]). I bez množenja brojeva na levoj strani jednačine jasno je da nula nije rešenje jednačine - na levoj strani jednačine množimo četiri broja različita od nule pa će i njihov proizvod takođe biti različit od nule.

Hvala na sugestiji, nisam to uzimao u obzir dok sam se spremao za prijemni, ali će svakako kao što reče značiti drugima koji se spremaju (a i meni samom u budućem gradivu)

Frank je napisao:Ukoliko na desnoj strani jednačine nema nepoznate onda je "fora" u tome da se na levoj strani izmnože odgovarajuće zagrade (tako da nakon množenja zagrada možemo da uvedemo smenu koja će pokupiti sva [inlmath]x[/inlmath]). Nije svejedno da li ćemo izmnožiti 1. i 3. i 2. i 4. zagradu ili ćemo 1. i 4. i 2. i 3. zagradu.

Slažem se. Neko opšte pravilo je da se množe zagrade tako da zbir slobodnih koeficijenata bude isti (npr da zbir slobodnih koeficijenata 1. i 4. zagrade bude isti sa zbirom slob. koef. 2. i 3. zagrade i obrnuto), ali u ovom zadatku to nije bio slučaj, pa je definitivno bilo potrebno isprobati više kombinacija.

Acim je napisao:Hvala na sugestiji, nisam to uzimao u obzir dok sam se spremao za prijemni

Pa, "pravilo" o kojem sam pisao u svom prethodnom postu lako možeš proveriti na nekom prostom primeru.
Na primer, rešimo jednaćinu [inlmath]x^2=x[/inlmath]. Ukoliko jednostavno obe strane podelimo sa [inlmath]x[/inlmath] dobićemo da jednačina [inlmath]x^2=x[/inlmath] ima jedno rešenje (i to [inlmath]1[/inlmath]) što je pogrešno jer data jednačina ima dva rešenja, a to su [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]. Do rešenja koje nam nedostaje ([inlmath]0[/inlmath]) doći ćemo razmatranjem slučaja o kom sam govorio u svom prethodnom postu.

Po meni, najelegantniji način da se reši data jednačina je da se [inlmath]x[/inlmath] prebaci na levu stranu jednakosti, a potom isto izvuce ispred zagrade...