MATEMANIJA

Poštovanje svim članovima,
Postavljam zadatke koje sam radio sa prijemnih ispita na Građevinskom fakultetu i FON-u 2019.

Prijemni ispit FON – 25. jun 2019.
5. zadatak

Zbir svih realnih rešenja jednačine [inlmath]1+\log_2\frac{x+1}{x+2}=\frac{1}{4}\log_{\sqrt2}(x-2)^2[/inlmath] je:
[inlmath]A)\;2;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;\sqrt7-1;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;0;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;\sqrt7-\sqrt3;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;-2.[/inlmath]

Uslove koje sam postavio jesu: [inlmath](x-2)^2>0\;\land\;\frac{x+1}{x+2}>0[/inlmath]. Iz toga se dobije da je [inlmath]D_f\colon-1<x\leq2\;\land\;x>2[/inlmath].
Sredio sam desnu stranu jednačine i dobio:
[dispmath]1+\log_2\frac{x+1}{x+2}=\log_2|x-2|.[/dispmath] Dalje sam to podelio na dva slučaja po definiciji apsolutne vrednosti.

[inlmath]x\geq2[/inlmath]
[dispmath]\log_2\frac{x+1}{(x+2)(x-2)}=-1\\
\frac{x+1}{x^2-4}=\frac{1}{2}\\
x^2-2x-6=0[/dispmath][dispmath]x=1\pm\sqrt7[/dispmath] i uzeo pozitivno.

[inlmath]x<2\;\land\;D_f\;\Longrightarrow\;-1<x<2[/inlmath]
[dispmath]\log_2\frac{x+1}{4-x^2}=-1\\
2x+2=4-x^2\\
x^2+2x-2=0\\
x=-1\pm\sqrt3[/dispmath] i izabrao pozitivno.

Dobio sam sumu [inlmath]\sqrt7+\sqrt3[/inlmath] što nije ponuđeno. Ne vidim gde sam mogao da pogrešim, jer sam teorijski sve prošao od uslova (ja bar tako mislim).

Što se tiče zadatka sa FON-a 2019, i vrednost [inlmath]-1-\sqrt3[/inlmath] takođe pripada datom (početnom i domenu kod apsolutne) domenu, ostalo ti je ok.

vuksha je napisao:Uslove koje sam postavio jesu: [inlmath](x-2)^2>0\;\land\;\frac{x+1}{x+2}>0[/inlmath]. Iz toga se dobije da je [inlmath]D_f\colon-1<x\leq2\;\land\;x>2[/inlmath].

Dobro si postavio uslove, ali negde imaš grešku u računanju domena.
Prvo, da domen zaista glasi ovako kako si napisao, to bi bilo isto što i [inlmath]D_f\colon x>-1[/inlmath], zar ne?
Drugo, treba da se dobije [inlmath]D_f\colon x<-2\;\lor\;-1<x<2\;\lor\;x>2[/inlmath].