MATEMANIJA

Prvi probni prijemni ispit FON – 9. jun 2018.
14. zadatak

Neka su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] rešenja kvadratne jednačine [inlmath]3x^2−3x−m^2+10m+7=0[/inlmath], gde je [inlmath]m[/inlmath] realan broj. Izraz [inlmath]x_1^3+x_2^3[/inlmath] dostiže minimalnu vrednost ako [inlmath]m[/inlmath] iznosi:
Rešenje: [inlmath]5[/inlmath]

Dosao sam do dela sa [inlmath]m^2-10m-6[/inlmath]

Kako sada trebam da odredim najmanju vrednost ovog izraza?

Pozdrav i dobro dosao!

Znaci, dobio si da je izraz [inlmath]x_1^3+x_2^3[/inlmath] ekvivalentan izrazu [inlmath]m^2-10m-6[/inlmath]. Dobijeni izraz predstavlja kvadratnu funkciju. Pretpostavljam da znas kako izgleda grafik kvadratne funkcije - parabola. (preporucujem da pogledas ovaj post)
Znamo da kvadratna funkcija [inlmath]ax^2+bx+c[/inlmath] dostize minimalnu (ako je [inlmath]a>0[/inlmath]) odnosno maksimalnu (ako je [inlmath]a<0[/inlmath]) vrednost u temenu parabole. Koordinate temena parabole su [inlmath]T\left(-\frac{b}{2a},-\frac{D}{4a}\right)[/inlmath].
E sad, od nas se trazi za koje m ce [inlmath]m^2-10m-6[/inlmath] dostici minimalnu vrednost, tj. trazi se x- koordinata temena parabole a ona je jednaka [inlmath]-\frac{b}{2a}=-\frac{-10}{2\cdot1}=5[/inlmath].
Da se kojim slucajem trazi minimalna vrednost izraza [inlmath]x_1^3+x_2^3[/inlmath] onda bismo trazili y- koordinatu temena parabole [inlmath]\left(-\frac{D}{4a}\right)[/inlmath], tj. trazili bismo vrednost funkcije u tacki [inlmath]m=5[/inlmath].