MATEMANIJA

1. Skrati sledeće razlomke:
[dispmath]\begin{array}{ll}
a)\;\frac{a^2-9}{ab+3b-a-3}\\
\\
v)\;\frac{6a^2b^2-3a^3b-3ab^3}{ab^3-a^3b}\quad & \quad g)\;\frac{x^3-6x^2+11x-6}{\left(x^3-4x^2+3x\right)}\cdot\left|x-2\right|
\end{array}[/dispmath]
2. Izvrši naznačene operacije:
[dispmath]\begin{array}{ll}
a)\;\frac{x^2y^2}{a^2b^2}+\frac{\left(x^2-b^2\right)\left(b^2-y^2\right)}{b^2\left(a^2-b^2\right)}+\frac{\left(a^2-x^2\right)\left(a^2-y^2\right)}{a^2\left(a^2-b^2\right)}\\
b)\;\frac{x-1}{x+1}-\frac{x-7}{x+7}+\frac{12}{x^2+8x+7}\quad & \quad v)\;2+\frac{\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}}{x+\frac{x}{x^2-1}}
\end{array}[/dispmath]
3. Uprosti izraze:
[dispmath]a)\;\left(a+\frac{2}{1+\frac{a}{2}}\right):\frac{a^3-8}{a+2}+\frac{2}{2a-a^2}\qquad b)\;\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+1\right)\cdot\left(\frac{\left(a+c-b\right)\cdot\left(a+b-c\right)}{\left(a+b+c\right)\cdot\left(b+c-a\right)}+1\right)[/dispmath]
4. Ako je [inlmath]A=\frac{a^{-2}-b^{-2}}{a^{-1}-b^{-1}},\;B=\left(\frac{a^{-1}}{a^{-1}-b^{-1}}-\frac{b^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}}\right)\cdot\left(a^{-1}-b^{-1}\right)\cdot\left(a^{-2}+b^{-2}\right)^{-1}[/inlmath] dokazati da je [inlmath]A=B^{-1}[/inlmath].

1. a)
[dispmath]\frac{a^2-9}{ab+3b-a-3}=\frac{(a-3)(a+3)}{-(a+3)(1-b)}=\frac{a-3}{b-1}[/dispmath]
[dispmath]a\ne -3\;\land\;b\ne 1[/dispmath]
v)
[dispmath]\frac{6a^2b^2-3a^3b-3ab^3}{ab^3-a^3b}=\frac{3ab\left(2ab-a^2-b^2\right)}{ab\left(b^2-a^2\right)}=[/dispmath]
[dispmath]\frac{-3ab\left(a^2-2ab+b^2\right)}{ab(b-a)(b+a)}=\frac{-3(a-b)^2}{-(a-b)(b+a)}=[/dispmath]
[dispmath]\frac{3(a-b)}{a+b}[/dispmath]
[dispmath]0\ne a\ne\pm b\ne 0[/dispmath]
Za treći primer nemam ideju.

Pod g) izraz u brojiocu rastaviš kao
[dispmath]x^3-6x^2+11x-6=x^3-2x^2-4x^2+8x+3x-6=x^2\left(x-2\right)-4x\left(x-2\right)+3\left(x-2\right)=\cdots[/dispmath]
Dobije se rešenje
[dispmath]\begin{cases}
-\frac{1}{x}, & x<2 \\
\frac{1}{x}, & x>2
\end{cases}\quad x\ne 0,\;x\ne 1,\;x\ne 2,\;x\ne 3[/dispmath]

2. a)
[dispmath]\frac{x^2y^2}{a^2b^2}+\frac{\left(x^2-b^2\right)\left(b^2-y^2\right)}{b^2\left(a^2-b^2\right)}+\frac{\left(a^2-x^2\right)\left(a^2-y^2\right)}{a^2\left(a^2-b^2\right)}=[/dispmath]
[dispmath]\frac{x^2y^2}{a^2b^2}+\frac{(x-b)(x+b)(b-y)(b+y)}{b^2(a-b)(a+b)}+\frac{(a-x)(a+x)(a-y)(a+y)}{a^2(a-b)(a+b)}=[/dispmath]
[dispmath]\frac{x^2y^2(a-b)(a+b)+a^2(x-b)(x+b)(b-y)(b+y)+b^2(a-x)(a+x)(a-y)(a+y)}{a^2b^2(a-b)(a+b)}=[/dispmath]
[dispmath]\frac{a^2b^2(a-b)(a+b)}{a^2b^2(a-b)(a+b)}=1[/dispmath]
[dispmath]0\ne a\ne\pm b\ne 0[/dispmath]

---

b)
[dispmath]\frac{x-1}{x+1}-\frac{x-7}{x+7}+\frac{12}{x^2+8x+7}=[/dispmath]
[dispmath]\frac{(x-1)(x+7)-(x-7)(x+1)+12}{(x+7)(x+1)}=[/dispmath]
[dispmath]\frac{12}{x+7}[/dispmath]
[dispmath]-1\ne x\ne -7[/dispmath]

Ideja za 3. i 4. ?? :s

3.
Pod a) prvo u razlomku [inlmath]\frac{2}{1+\frac{a}{2}}[/inlmath] pomnoži i brojilac i imenilac sa [inlmath]2[/inlmath] da bi se oslobodio onog razlomka ([inlmath]\frac{a}{2}[/inlmath]) u imeniocu. Zatim tako dobijen razlomak saberi s onim [inlmath]a[/inlmath], standardno, svođenjem na zajednički imenilac.
Izraz [inlmath]a^3-8[/inlmath] rastavi kao razliku kubova, prema formuli [inlmath]a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)[/inlmath].
U izrazu [inlmath]2a-a^2[/inlmath] izvuci [inlmath]a[/inlmath] ispred zagrade (i, uopšte, kod ovakvih zadataka, gde god vidiš da postoji neki zajednički član u svim sabircima, uvek to izvlači ispred zagrade).
Posle svega ovoga videćeš i sam šta sve može da se skrati...
Treba da dobiješ rezultat [inlmath]\frac{1}{a}[/inlmath].

b) U razlomku [inlmath]\frac{\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}{\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)}[/inlmath] prvo središ brojilac koristeći formulu za razliku kvadrata [inlmath]\left(x-y\right)\left(x+y\right)=x^2-y^2[/inlmath] tako što ovde prepoznaš da je [inlmath]x=a[/inlmath], a da je [inlmath]y=b-c[/inlmath]. Konkretno:
[dispmath]\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)=\left[a-\left(b-c\right)\right]\left[a+\left(b-c\right)\right]=[/dispmath]
[dispmath]=a^2-\left(b-c\right)^2=a^2-\left(b^2+c^2-2bc\right)=a^2-b^2-c^2+2bc[/dispmath]
Isto to sada uradiš i s imeniocem, [inlmath]\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)[/inlmath], tako što ovde prepoznaš da je [inlmath]x=b+c[/inlmath], a [inlmath]y=a[/inlmath]...
Zatim razlomke u obema zagradama sabereš s onim jedinicama, svođenjem na zajednički imenilac.
Pokratiš sve što se dâ pokratiti i dobićeš rezultat [inlmath]2[/inlmath].

3.
a)
[dispmath]\frac{\frac{a^2+2a+4}{2}}{\frac{2+a}{2}}\cdot\frac{a+2}{(a-2)\left(a^2+2a+4\right)}+\frac{2}{2a-a^2}[/dispmath]
[dispmath]\frac{1}{a-2}+\frac{2}{a(2-a)}[/dispmath]
[dispmath]\frac{1}{a-2}+\frac{2}{-a(a-2)}[/dispmath]
[dispmath]\frac{-a+2}{-a(a-2)}[/dispmath]
[dispmath]\frac{-(a-2)}{-a(a-2)}=\frac{1}{a}[/dispmath]
mora san, dugo nisan vidia nešto šta mogu riješit >.>

Rešavaj onda ono što nisam ja rešio.

[dispmath]A=\frac{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}=\frac{\frac{b^2-a^2}{a^2b^2}}{\frac{b-a}{ab}}=[/dispmath]
[dispmath]\frac{b^2-a^2}{ab(b-a)}=\frac{a+b}{ab}[/dispmath]

[dispmath]B=\left(\frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}-\frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\right)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)^{-1}=[/dispmath]
[dispmath]\left(\frac{\frac{1}{a}}{\frac{b-a}{ab}}-\frac{\frac{1}{b}}{\frac{b+a}{ab}}\right)\left(\frac{b-a}{ab}\right)\left(\frac{b^2+a^2}{a^2b^2}\right)^{-1}=[/dispmath]
[dispmath]\frac{b(b+a)-a(b-a)}{(b-a)(b+a)}\cdot \frac{b-a}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{b^2+a^2}=[/dispmath]
[dispmath]\frac{a^2+b^2}{b+a}\cdot \frac{ab}{b^2+a^2}=\frac{ab}{b+a}[/dispmath]

[dispmath]A=B^{-1}=True[/dispmath]