MATEMANIJA

Broj resenja jednacine [inlmath]x^x=x^{4-x}[/inlmath] u skupu [inlmath](0,\infty)[/inlmath]

Ja ovde ne znam kako da krenem tako da nisam nista pokusavao, inace resenje je [inlmath]2[/inlmath].

Pošto su nam osnove jednake, prva stvar koja nas "vuče" da uradimo je da izjednačimo eksponente. Očigledno je u tom slučaju jednačina ima jedno (i to "lepo") rešenje koje upada u traženi interval. Standardna zamka kod ovakvih zadataka je što se često previde neki specijalni slučajevi koje treba posebno prodiskutovati. Pogledaj ovde o čemu se radi, pa vidi šta još može da bude rešenje. Inače, vodi računa da ti se traži broj rešenja jednaćine, a ne sama rešenja kao takva.

Ja nisam dobro performulisao resenje, kaze da jednacina ima [inlmath]2[/inlmath] resenja u datom skupu, ja sam radio kao sto si i ti naveo ali uvek sam dobijao to jedno resenje. Siguran sam da ima neki trik sa tim [inlmath]x[/inlmath] ali ne mogu da se setim.

Nema nikakvog trika. Pogledaj Danielov poslednji post u linkovanoj temi i vidi da li svoju jednačinu možeš da "napakuješ" na neki od tih slučajeva. Interval koji je zadan kao uslov u zadatku poprilično pomaže pošto veliku većinu posebnih slučajeva eliminišeš činjenicom da [inlmath]x[/inlmath] mora da bude veće od nule. Čak bih se usudio da kažem da je interval namerno izabran da bi se eliminisala "sporna" vrednost [inlmath]0^0[/inlmath].

Drugi način bi bio obe strane logaritmovati za osnovu [inlmath]x[/inlmath]. Naravno, to je dozvoljeno jedino ako je [inlmath]x\ne1[/inlmath] (i ako je [inlmath]x>0[/inlmath], ali to je već po uslovu zadatka ispunjeno), tako da se slučaj [inlmath]x=1[/inlmath] zasebno ispituje uvrštavanjem jedinice u početnu jednačinu.

Da shvatio sam na kraju sam uspeo da uradim, hvala vam na pomoci