Pozdrav, imam jedan problem sa ovim zadatkom:
Poznato je da brojevi [inlmath]\log_2\left(2^x-1\right)[/inlmath], [inlmath]\log_4\left(9+4^x-7\cdot2^x\right)[/inlmath] i [inlmath]\log_2\left(3-2^x\right)[/inlmath] predstavljaju uzastopne članove aritmetičke progresije. Koliko ima takvih realnih brojeva [inlmath]x[/inlmath]?
Rešenje: [inlmath]1[/inlmath]
Ja sam ovako radio:
[dispmath]a_2=\frac{a_1+a_3}{2}\\
\log_4\left(9+4^x-7\cdot2^x\right)=\frac{\log_2\left(2^x-1\right)+\log_2\left(3-2^x\right)}{2}\\
\frac{1}{2}\log_2\left(9+4^x-7\cdot2^x\right)=\frac{\log_2\left(2^x-1\right)+\log_2\left(3-2^x\right)}{2}\\
\log_2\left(9+4^x-7\cdot2^x\right)=\log_2\left(2^x-1\right)+\log_2\left(3-2^x\right)\\
\log_2\left(9+4^x-7\cdot2^x\right)=\log_2\left(3\cdot2^x-2^{2x}-3+2^x\right)\\
9+2^{2x}-7\cdot2^x=3\cdot2^x-2^{2x}-3+2^x[/dispmath] Sad uvodim smenu da je [inlmath]2^x=t[/inlmath] pa će dalje biti:
[dispmath]9+t^2-7t=3t-t^2-3+t\\
2t^2-11t+12=0[/dispmath] Kada se reši ova kvadratna jednačina dobija se [inlmath]t=\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]t=4[/inlmath], sada kada vratimo smene dobijam:
[dispmath]2^x=\frac{3}{2}\\
2^x=4\\
x_1=\log_23-1\\
x_2=2[/dispmath] Ne znam sad kako to da ima samo jedno rešenje za [inlmath]x[/inlmath] kad sam dobijo 2 rešenja? Da li sam ja negde pogrešio ili nešto još treba da se odradi?