Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ALGEBRA

Logaritam sa aritmetičkom progresijom

[inlmath]a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/inlmath]

Logaritam sa aritmetičkom progresijom

Postod milan7654 » Utorak, 03. Maj 2022, 16:45

Pozdrav, imam jedan problem sa ovim zadatkom:

Poznato je da brojevi [inlmath]\log_2\left(2^x-1\right)[/inlmath], [inlmath]\log_4\left(9+4^x-7\cdot2^x\right)[/inlmath] i [inlmath]\log_2\left(3-2^x\right)[/inlmath] predstavljaju uzastopne članove aritmetičke progresije. Koliko ima takvih realnih brojeva [inlmath]x[/inlmath]?

Rešenje: [inlmath]1[/inlmath]

Ja sam ovako radio:
[dispmath]a_2=\frac{a_1+a_3}{2}\\
\log_4\left(9+4^x-7\cdot2^x\right)=\frac{\log_2\left(2^x-1\right)+\log_2\left(3-2^x\right)}{2}\\
\frac{1}{2}\log_2\left(9+4^x-7\cdot2^x\right)=\frac{\log_2\left(2^x-1\right)+\log_2\left(3-2^x\right)}{2}\\
\log_2\left(9+4^x-7\cdot2^x\right)=\log_2\left(2^x-1\right)+\log_2\left(3-2^x\right)\\
\log_2\left(9+4^x-7\cdot2^x\right)=\log_2\left(3\cdot2^x-2^{2x}-3+2^x\right)\\
9+2^{2x}-7\cdot2^x=3\cdot2^x-2^{2x}-3+2^x[/dispmath] Sad uvodim smenu da je [inlmath]2^x=t[/inlmath] pa će dalje biti:
[dispmath]9+t^2-7t=3t-t^2-3+t\\
2t^2-11t+12=0[/dispmath] Kada se reši ova kvadratna jednačina dobija se [inlmath]t=\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]t=4[/inlmath], sada kada vratimo smene dobijam:
[dispmath]2^x=\frac{3}{2}\\
2^x=4\\
x_1=\log_23-1\\
x_2=2[/dispmath] Ne znam sad kako to da ima samo jedno rešenje za [inlmath]x[/inlmath] kad sam dobijo 2 rešenja? Da li sam ja negde pogrešio ili nešto još treba da se odradi?
 
Postovi: 49
Zahvalio se: 26 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Logaritam sa aritmetičkom progresijom

Postod Daniel » Utorak, 03. Maj 2022, 18:20

Pozdrav, ceo postupak je dobar, ali ne zaboravi na uslove definisanosti logaritama.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Logaritam sa aritmetičkom progresijom

Postod milan7654 » Utorak, 03. Maj 2022, 19:14

Au pa dosta je komplikovan izraz kako da mu odredim uslov?
 
Postovi: 49
Zahvalio se: 26 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Logaritam sa aritmetičkom progresijom

Postod Daniel » Sreda, 04. Maj 2022, 00:09

Nije tu ništa komplikovano. Postaviš uslove
[inlmath]2^x-1>0\\
9+4^x-7\cdot2^x>0\\
3-2^x>0[/inlmath]
i rešavaš ih smenom [inlmath]2^x=t[/inlmath] (pri čemu drugu nejednačinu radiš kao kvadratnu).
Pošto je potrebno da sva tri uslova budu ispunjena, na kraju tražiš presek skupova rešenja ovih triju nejednačina.

To je ono kako bi se radilo „školski“, striktno po pravilima. Ali, nećeš ništa pogrešiti ni ako radiš kao što si radio, i na kraju uvrštavanjem svakog od dva dobijena rešenja proveriš da li su ispunjeni uslovi definisanosti logaritama (tj. da li su zadovoljene ove gornje tri nejednačine).
Inače generalno savetujem da se, nakon rešavanja (ne)jednačina, svako od rešenja proveri uvrštavanjem u početnu (ne)jednačinu. Tim postupkom bi i sâm zaključio da jedno od tvoja dva rešenja otpada.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Logaritam sa aritmetičkom progresijom

Postod milan7654 » Subota, 07. Maj 2022, 13:25

Hvala na pomoći, uspeo sam da uradim. Dobija se da [inlmath]x_2=2[/inlmath] ne pripada domenu odnosno nije rešenje.
 
Postovi: 49
Zahvalio se: 26 puta
Pohvaljen: 1 puta


Povratak na ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 30 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 06:08 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs