MATEMANIJA

Pozdrav, imam jedan problem sa ovim zadatkom:

Poznato je da brojevi [inlmath]\log_2\left(2^x-1\right)[/inlmath], [inlmath]\log_4\left(9+4^x-7\cdot2^x\right)[/inlmath] i [inlmath]\log_2\left(3-2^x\right)[/inlmath] predstavljaju uzastopne članove aritmetičke progresije. Koliko ima takvih realnih brojeva [inlmath]x[/inlmath]?

Rešenje: [inlmath]1[/inlmath]

Ja sam ovako radio:
[dispmath]a_2=\frac{a_1+a_3}{2}\\
\log_4\left(9+4^x-7\cdot2^x\right)=\frac{\log_2\left(2^x-1\right)+\log_2\left(3-2^x\right)}{2}\\
\frac{1}{2}\log_2\left(9+4^x-7\cdot2^x\right)=\frac{\log_2\left(2^x-1\right)+\log_2\left(3-2^x\right)}{2}\\
\log_2\left(9+4^x-7\cdot2^x\right)=\log_2\left(2^x-1\right)+\log_2\left(3-2^x\right)\\
\log_2\left(9+4^x-7\cdot2^x\right)=\log_2\left(3\cdot2^x-2^{2x}-3+2^x\right)\\
9+2^{2x}-7\cdot2^x=3\cdot2^x-2^{2x}-3+2^x[/dispmath] Sad uvodim smenu da je [inlmath]2^x=t[/inlmath] pa će dalje biti:
[dispmath]9+t^2-7t=3t-t^2-3+t\\
2t^2-11t+12=0[/dispmath] Kada se reši ova kvadratna jednačina dobija se [inlmath]t=\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]t=4[/inlmath], sada kada vratimo smene dobijam:
[dispmath]2^x=\frac{3}{2}\\
2^x=4\\
x_1=\log_23-1\\
x_2=2[/dispmath] Ne znam sad kako to da ima samo jedno rešenje za [inlmath]x[/inlmath] kad sam dobijo 2 rešenja? Da li sam ja negde pogrešio ili nešto još treba da se odradi?

Pozdrav, ceo postupak je dobar, ali ne zaboravi na uslove definisanosti logaritama.

Au pa dosta je komplikovan izraz kako da mu odredim uslov?

Nije tu ništa komplikovano. Postaviš uslove
[inlmath]2^x-1>0\\
9+4^x-7\cdot2^x>0\\
3-2^x>0[/inlmath]
i rešavaš ih smenom [inlmath]2^x=t[/inlmath] (pri čemu drugu nejednačinu radiš kao kvadratnu).
Pošto je potrebno da sva tri uslova budu ispunjena, na kraju tražiš presek skupova rešenja ovih triju nejednačina.

To je ono kako bi se radilo „školski“, striktno po pravilima. Ali, nećeš ništa pogrešiti ni ako radiš kao što si radio, i na kraju uvrštavanjem svakog od dva dobijena rešenja proveriš da li su ispunjeni uslovi definisanosti logaritama (tj. da li su zadovoljene ove gornje tri nejednačine).
Inače generalno savetujem da se, nakon rešavanja (ne)jednačina, svako od rešenja proveri uvrštavanjem u početnu (ne)jednačinu. Tim postupkom bi i sâm zaključio da jedno od tvoja dva rešenja otpada.

Hvala na pomoći, uspeo sam da uradim. Dobija se da [inlmath]x_2=2[/inlmath] ne pripada domenu odnosno nije rešenje.