MATEMANIJA

Pozdrav,

Kvadratna jednačina [inlmath]mx^2+(m+3)x+4=0[/inlmath] ima dva (različita) realna rešenja, oba manja od [inlmath]1[/inlmath]. Skup svih mogućih vrednosti broja [inlmath]m[/inlmath] je:

Rešenje: [inlmath]\left(-\infty,-\frac{7}{2}\right)\cup(0,1)\cup[9,\infty)[/inlmath]

Odradio sam diskriminantu za ovu jednačinu ali posle toga dalje ne znam, kako se dobija [inlmath]-\frac{7}{2}[/inlmath]?
[dispmath]D=b^2-4ac\\
D=(m+3)^2-4m+4\\
D=m^2-10m+9\\
x_1=1,\;x_2=9[/dispmath]

milan7654 je napisao:[dispmath]D=(m+3)^2-{\color{red}4m+4}\\
D=m^2-10m+9[/dispmath]

Nije ti u redu crveno obeležen deo, ali si svakako dobio ispravan izraz za diskriminantu. Naravno, koreni tog izraza nisu [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] kako si napisao, već [inlmath]{\color{red}m}_1[/inlmath] i [inlmath]{\color{red}m}_2[/inlmath].

Rezultat nije tačno napisan, treba da glasi [inlmath]m\in\left(-\infty,-\frac{7}{2}\right)\cup(0,1)\cup{\color{red}(}9,\infty)[/inlmath] (tj. devetka nije uključena).
U to se lako možeš uveriti ako u zadatu jednačinu uvrstiš [inlmath]m=9[/inlmath]. Dobije se jednačina [inlmath]9x^2+12x+4=0[/inlmath], čija je diskriminanta jednaka nuli, što znači da rešenja nisu različita, iako moraju biti po uslovu zadatka.

milan7654 je napisao:Odradio sam diskriminantu za ovu jednačinu ali posle toga dalje ne znam, kako se dobija [inlmath]-\frac{7}{2}[/inlmath]?

Najlakše je ovo da radiš tako što ćeš uvesti smenu [inlmath]x-1=t[/inlmath]. Time se zadatak svodi na kvadratnu jednačinu po [inlmath]t[/inlmath] čija oba rešenja [inlmath]t_1[/inlmath] i [inlmath]t_2[/inlmath] moraju biti negativna. A onda se to vrlo elegantno radi preko Vietovih formula – potrebno je samo uočiti kog su znaka [inlmath]t_1+t_2[/inlmath] i [inlmath]t_1t_2[/inlmath] kada su oba rešenja po [inlmath]t[/inlmath] negativna.

Imam pitanje, zbog cega je [inlmath]x-1=t[/inlmath]?

Mislim da sam to i obrazložio – ako je (po uslovu zadatka) [inlmath]x_1<1[/inlmath] i [inlmath]x_2<1[/inlmath], tada će biti [inlmath]x_1-1<0[/inlmath] i [inlmath]x_2-1<0[/inlmath], pa uvođenjem smene [inlmath]x-1=t[/inlmath] dobijamo takvu kvadratnu po [inlmath]t[/inlmath] čija su oba rešenja [inlmath]t_1[/inlmath] i [inlmath]t_2[/inlmath] manja od nule, i onda lako ide preko Vietovih formula...