Dobrodošlica i od mene. Način koji ti je miletrans opisao sasvim je korektan, ali ja bih predložio nešto elegantniji postupak. Koristeći formulu za razliku kubova [inlmath]x^3-1=(x-1)\left(x^2+x+1\right)[/inlmath], pri čemu je drugi faktor po uslovu zadatka jednak nuli, odmah je vidljivo čemu je jednako [inlmath]x^3[/inlmath]. Nakon toga, [inlmath]x^{1000}[/inlmath] možeš napisati kao [inlmath]\left(x^3\right)^{333}\cdot x[/inlmath], a [inlmath]x^{-1000}[/inlmath] možeš napisati kao [inlmath]\left(x^3\right)^{-334}\cdot x^2[/inlmath].
Ako slediš prethodne instrukcije, dobićeš da je traženi izraz [inlmath]x^{1000}+x^{-1000}[/inlmath] jednak [inlmath]x+x^2[/inlmath]. A iz zadatog uslova [inlmath]x^2+x+1=0[/inlmath], prebacivanjem jedinice na desnu stranu, odmah se vidi i čemu je jednako [inlmath]x^2+x[/inlmath], a samim tim i traženi izraz.
Budući da ovaj način ne zahteva nikakav rad s kompleksnim brojevima, sasvim je OK da tema ostane u „Algebri“.