MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 28. jun 2016.
10. zadatak

Broj svih celobrojnih rešenja nejednačine [inlmath]\left(\sqrt5+2\right)^x+\left(\sqrt5-2\right)^x\leq2\sqrt5[/inlmath] jednak je:
Tačan odgovor je [inlmath]3[/inlmath].

Primetio sam da je [inlmath]\left(\sqrt5+2\right)^x\left(\sqrt5-2\right)^x=1^x=1[/inlmath] pa sam pomnožio celu nejednačinu sa [inlmath]\left(\sqrt5+2\right)^x[/inlmath], postavio [inlmath]t=\left(\sqrt5+2\right)^x[/inlmath] i dobio sledeće: [inlmath]t^2+1-2\sqrt5t\leq0[/inlmath]

Nule su [inlmath]t_1=\sqrt5+2[/inlmath] i [inlmath]t_2=\sqrt5-2[/inlmath]

Zatim: [inlmath]x_1=1[/inlmath] i [inlmath]x_2=\log_{\sqrt5+2}\left(\sqrt5-2\right)[/inlmath]

Druga nula je problem. Kada unesem vrednosti u kalkulator, dobijem da je [inlmath]x=-1[/inlmath]. Na prijemnom naravno neće biti dozvoljeno korišćenje kalkulatora. Kako uraditi ovo "ručno"?
Hvala unapred

Pa i sam si vrlo lepo primetio da je [inlmath]\left(\sqrt5+2\right)\left(\sqrt5-2\right)=1[/inlmath]. To znači, [inlmath]\log_{\sqrt5+2}\left(\sqrt5-2\right)[/inlmath] možeš napisati kao [inlmath]\log_{\sqrt5+2}\frac{1}{\sqrt5+2}=\log_{\sqrt5+2}\left(\sqrt5+2\right)^{-1}[/inlmath]...

E to. Zahvaljujem