MATEMANIJA

Prijemni ispit MATF – 1. jul 2004.
20. zadatak

Broj rešenja jednačine [inlmath]x^2-\cos x=0[/inlmath] je:
Rešenje: [inlmath]2[/inlmath]

[inlmath]\cos x[/inlmath] mora biti pozitivan zbog kvadrata, pa je [inlmath]\cos x\in[0,1][/inlmath] što znači da [inlmath]x\in[-1,1][/inlmath]
To je otprilike [inlmath]\left[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right][/inlmath].

Zadatak sam "rešio" na sledeći način:
Za [inlmath]x=0[/inlmath], [inlmath]\cos x=1[/inlmath] ([inlmath]x<\cos x[/inlmath]).
Kako se [inlmath]x[/inlmath] povećava, [inlmath]\cos x[/inlmath] se smanjuje.
Kada [inlmath]x[/inlmath] dođe do svog maksimuma ([inlmath]x=1[/inlmath]), [inlmath]\cos x[/inlmath] će biti [inlmath]\cos x\approx\frac{1}{2}[/inlmath], ([inlmath]x>\cos x[/inlmath]), što znači da su se u jednoj tački "poklopili".
Isto se dešava i za [inlmath]x\in[-1,0][/inlmath]. I tako dobijam dva rešenja.

Ovo mi deluje kao veoma "ad-hoc" rešenje. Može li se ovaj zadatak rešiti na neki "univerzalniji" način koji ću moći da primenim i na druge slične zadatke?
Hvala

Postupak je sasvim dobar, ali kada se traži samo broj rešenja a ne i koja su rešenja, tada je daleko zgodnije koristiti grafički metod. Skiciraju se funkcije [inlmath]f(x)=x^2[/inlmath] i [inlmath]g(x)=\cos x[/inlmath] i izbroje se njihove presečne tačke.