MATEMANIJA

Neka je [inlmath]m[/inlmath] prirodan broj. Zbir svih vrednosti parametra [inlmath]m[/inlmath] za koje je kvadratni trinom
[dispmath](6-m)x^2+(12-2m)x+15-3m[/dispmath] pozitivan za sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath] je?

Tačan odgovor je [inlmath]10[/inlmath]. Nije mi najjasnije kako da dođem do toga niti kako da otpočnem zadatak. Svaka pomoć je dobrodošla. Hvala unapred

Posmatraj grafik trinoma u opštem slučaju, [inlmath]ax^2+bx+c[/inlmath]. Taj trinom biće pozitivan za svako [inlmath]x[/inlmath] onda kada se ceo grafik tog trinoma nalazi iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose. A to znači, da je potrebno:

• da teme tog grafika (parabole) bude okrenuto prema dole, tj. kraci prema gore – to će biti ispunjeno kada je [inlmath]a>0[/inlmath];
• da taj grafik nema ni dodirne ni presečne tačke s [inlmath]x[/inlmath]-osom, tj. da trinom nema realne nule – to će biti ispunjeno kada je diskriminanta manja od nule.

---

Mala napomena: Da u zadatku nije naglašeno da je ovo kvadratni trinom, i da se traži da dati izraz (a ne kvadratni trinom) bude pozitivan za svako [inlmath]x[/inlmath], tada bi postojala i druga mogućnost, a to je da bude [inlmath]a=b=0,\;c>0[/inlmath] tj. izraz bi za svako [inlmath]x[/inlmath] bio jednak konstanti, a vrednost te konstante (a samim tim i znak) bila bi jednaka koeficijentu [inlmath]c[/inlmath]. Međutim, pošto je ovde navedeno da je u pitanju kvadratni trinom, samim tim je jasno da [inlmath]a[/inlmath] ne sme biti različito od nule, jer kada bi bilo [inlmath]a=0[/inlmath], onda to po definiciji ne bi bio kvadratni trinom.