Broj celobrojnih vrednosti parametra

PostPoslato: Nedelja, 14. Maj 2023, 15:01
od Igor11
Celobrojnih vrednosti parametra [inlmath]k[/inlmath] za koje je resenje jednacine [inlmath]k(x−k)=2x[/inlmath] prirodan broj ima?
Ponudjeni odgovori su:

[inlmath](A)\; 0\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;1\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;2\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;3\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;\text{više od }3[/inlmath]

Ja razvijem ovu jednacinu u kvadratnu jednacinu po [inlmath]k[/inlmath] i dobijem da je diskriminanta [inlmath]D=x(x-8)[/inlmath] i sad mi je jasno da [inlmath]D\ge0[/inlmath] kako bi dobio prirodan broj. Dobijem za [inlmath]x=8[/inlmath] da je [inlmath]k=4[/inlmath], za [inlmath]x=9[/inlmath] dvije vrijednosti [inlmath]k[/inlmath] i sad me zanima kako da dokazem da za [inlmath]x>9[/inlmath] diskriminanta nije kvadrat nijednog prirodnog broja?

Re: Broj celobrojnih vrednosti parametra

PostPoslato: Sreda, 17. Maj 2023, 16:49
od Daniel
Od starta si krenuo pogrešno jer si rešavao kao da se traži da [inlmath]k[/inlmath] bude prirodan broj, a zapravo se traži da [inlmath]x[/inlmath] bude prirodan broj (dok je [inlmath]k[/inlmath] zadato kao celobrojni parametar).
Dakle, treba iz zadate jednačine da izraziš čemu je jednako [inlmath]x[/inlmath] (u zavisnosti od [inlmath]k[/inlmath]) i da onda odrediš za koje (celobrojne) vrednosti [inlmath]k[/inlmath] će [inlmath]x[/inlmath] biti prirodan broj...

Re: Broj celobrojnih vrednosti parametra

PostPoslato: Četvrtak, 18. Maj 2023, 12:36
od Igor11
U redu, dobio sam da je [inlmath]x=\frac{k^2}{k-2}[/inlmath] i dobijem pjeske vrijednosti za [inlmath]k=\{3,4,6\}[/inlmath] dobijem prirodne vrijednost za [inlmath]x[/inlmath], ali mi nije jasno ponovo kako da znam da ne postoji vise vrijednosti [inlmath]k[/inlmath] za koje je [inlmath]x[/inlmath] prirodan broj.

Re: Broj celobrojnih vrednosti parametra

PostPoslato: Četvrtak, 18. Maj 2023, 13:49
od Daniel
Dalje to zapišeš na sledeći način:
[dispmath]x=\frac{k^2}{k-2}=\frac{k^2-4k+4+4k-4}{k-2}=\frac{(k-2)^2+4k-4}{k-2}=k-2+\frac{4k-4}{k-2}=[/dispmath][dispmath]=k-2+\frac{4k-8+4}{k-2}=k-2+\frac{4(k-2)+4}{k-2}=k-2+4+\frac{4}{k-2}=k+2+\frac{4}{k-2}[/dispmath] Da bi dobijeni izraz (a samim tim i [inlmath]x[/inlmath]) bio prirodan, potrebno je pre svega da bude celobrojan, što znači da sabirak [inlmath]\frac{4}{k-2}[/inlmath] mora biti celobrojan. On će biti celobrojan kada je [inlmath]k-2[/inlmath] delilac broja [inlmath]4[/inlmath]. A delilaca broja [inlmath]4[/inlmath] ima ukupno šest: [inlmath]k-2\in\{-4,-2,-1,1,2,4\}[/inlmath].
E sad, da bi dobijeni izraz bio prirodan broj, to znači da osim što je celobrojan, mora biti i veći od nule.
Za slučajeve kada je [inlmath]k-2[/inlmath] pozitivno, biće pozitivno i [inlmath]k[/inlmath], a samim tim i ceo izraz koji predstavlja [inlmath]x[/inlmath] (jer su mu svi sabirci pozitivni), tako da to sigurno jesu tražene vrednosti [inlmath]k[/inlmath] (to su upravo te vrednosti koje si ti dobio).
Za slučajeve kada je [inlmath]k-2[/inlmath] jednako [inlmath]-4[/inlmath], [inlmath]-2[/inlmath] ili [inlmath]-1[/inlmath], može se uvrštavanjem odrediti predznak [inlmath]x[/inlmath]. Za [inlmath]k-2=-2[/inlmath] dobije se da je [inlmath]x=0[/inlmath], dok se za [inlmath]k-2=-4[/inlmath] i [inlmath]k-2=-1[/inlmath] dobiju negativne vrednosti za [inlmath]x[/inlmath].



Jedna napomena. Po meni, u tekstu zadatka bi moralo biti precizirano da li se pod prirodnim brojem podrazumeva i nula ili ne, jer od toga zavisi i koji je od ponuđenih odgovora tačan. Naime, iako velika većina matematičara pod skupom prirodnih brojeva smatra [inlmath]\{1,2,3,4,\ldots\}[/inlmath], ima i onih koji u taj skup uključuju i nulu.
Dakle – ako je [inlmath]\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\ldots\}[/inlmath], broj mogućih vrednosti [inlmath]k[/inlmath] iznosi [inlmath]3[/inlmath], a ako je [inlmath]\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,\ldots\}[/inlmath], broj mogućih vrednosti [inlmath]k[/inlmath] iznosi [inlmath]4[/inlmath].