MATEMANIJA

Zdravo drugari, naišao sam na ovaj zadatak u metodičkoj zbirci (Mirko S. Jovanović, 2021.), 1. oblast, 10. zadatak. Pitanje u zadatku mi je jasno, ali mi nije jasno koje korake treba da preduzmem da transformišem izraz u nešto korisno.

Ako su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] vrednosti za koje izraz
[dispmath]E=x^2-2xy+6y^2-12x+2y+65[/dispmath] dobija najmanju vrednost, tada je [inlmath]x+y[/inlmath] jednako:
[inlmath]A)\;-3\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;8\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;7\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;0\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;10[/inlmath]

U rešenju tačan odgovor je pod [inlmath]B)[/inlmath], [inlmath]8[/inlmath]. Nema postupka u rešenju, samo sledeće "uputstvo" gde isto ne razumem kako su došli do ovog izraza:

Uputstvo:[dispmath]E=(x-y-6)^2+5(y-1)^2+24,\;E_{\min}=24[/dispmath]

Pozdrav, dobro nam došao.

Rešenje po uputstvu ćeš dobiti ako početni izraz pregrupišeš tako da možeš da "spakuješ" ova dva kvadrata koji se pojavljuju u rešenju. Umesto [inlmath]2y[/inlmath] napiši [inlmath]12y-10y[/inlmath], umesto [inlmath]6y^2[/inlmath] zapiši kao [inlmath]5y^2+y^2[/inlmath], a [inlmath]65[/inlmath] zapiši [inlmath]36+5+24[/inlmath].

Kada ovo uradiš, grupiši šta treba da bi se dobili kvadrati trinoma i binoma i dobićeš ovaj izraz iz uputstva. Ako i dalje bude problem, reci.

Zdravo Hajd prvo da krenemo od kraja, dakle od tog izraza [inlmath](x-y-6)^2+5(y-1)^2+24[/inlmath]. Zašto je taj izraz pogodan za računanje minimalne vrednosti? Pa, zato što u njemu figurišu kvadrati, a za kvadrate znamo da ne mogu biti negativni, dakle njihova minimalna vrednost je nula. To znači, pošto u izrazu imamo zbir tih kvadrata, ako nađemo vrednosti [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] takve da su [inlmath]x-y-6[/inlmath] i [inlmath]y-1[/inlmath] jednaki nulama, to će biti one vrednosti [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] za koje će ceo taj izraz biti minimalan.

Deo koji je naveden, [inlmath]E_{\min}=24[/inlmath], potpuno je nepotreban, jeste da će minimalna vrednost datog izraza biti [inlmath]24[/inlmath], ali to se uopšte u tekstu zadatka ne traži.

E sad, kako početni izraz transformisati u taj koji je pogodan? Krenimo od ovog [inlmath]x^2-2xy[/inlmath], vidimo da dodavanjem [inlmath]y^2[/inlmath] od toga možemo napraviti kvadrat binoma. Naravno, moramo nakon toga i oduzeti [inlmath]y^2[/inlmath] kako vrednost izraza ne bi bila promenjena:
[dispmath]E=\underbrace{x^2-2xy+y^2}_{(x-y)^2}-y^2+6y^2-12x+2y+65\\
E=(x-y)^2+5y^2-12x+2y+65[/dispmath] Sad, pošto nam [inlmath](x-y)[/inlmath] figuriše kao vrednost dignuta na kvadrat, pogodno bi bilo da se još negde nalazi [inlmath](x-y)[/inlmath], kako bismo i od toga mogli napraviti kvadrat binoma u kojem bi [inlmath](x-y)[/inlmath] bio jedan od dva člana, a pošto imamo [inlmath]-12x[/inlmath], dodaćemo [inlmath]12y[/inlmath] pa ćemo i oduzeti [inlmath]12y[/inlmath]:
[dispmath]E=(x-y)^2\underbrace{-12x+12y}_{-12(x-y)}-12y+5y^2+2y+65\\
E=(x-y)^2-12(x-y)+5y^2-10y+65[/dispmath] Kako bismo od [inlmath](x-y)^2-12(x-y)[/inlmath] dobili kvadrat binoma u kojem figuriše [inlmath](x-y)[/inlmath], biće potrebno da dodamo [inlmath]6^2[/inlmath], iliti [inlmath]36[/inlmath] (i takođe da oduzmemo [inlmath]36[/inlmath], dabome, radi očuvanja vrednosti izraza):
[dispmath]E=\underbrace{(x-y)^2-12(x-y)+36}_{(x-y-6)^2}-36+5y^2-10y+65\\
E=(x-y-6)^2+5y^2-10y+29\\
E=(x-y-6)^2+5\left(y^2-2y\right)+29[/dispmath] Sada isto tako od ovog [inlmath]y^2-2y[/inlmath] pravimo kvadrat binoma, tako što dodamo [inlmath]1[/inlmath] (i isto tako oduzmemo [inlmath]1[/inlmath]):
[dispmath]E=(x-y-6)^2+5\left(y^2-2y+1-1\right)+29\\
E=(x-y-6)^2+5\underbrace{\left(y^2-2y+1\right)}_{(y-1)^2}-5+29\\
E=(x-y-6)^2+5(y-1)^2+24[/dispmath] i voila – imamo izraz s kvadratima, u kojem samo još nađemo [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] tako da ti kvadrati budu nule.


EDIT: Sorry @miletrans, bio si brži za tri minuta, al' da ne bude da sam pisao uzalud, neka ga ovde i moj odgovor.

Evo i napomena u vezi navedenog zadatka.
U zadatku nije eksplicitno istaknuto kom skupu pripadaju brojevi [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]. Međutim, pošto se traže vrednosti tih brojeva za koje će izraz [inlmath]E[/inlmath] biti minimalan, sledi da su ti brojevi realni. Ako bi ti brojevi bili kompleksni onda bi i vrednost izraza [inlmath]E[/inlmath] bila jednaka kompleksnom broju, a u nekom podskupu skupa kompleksnih brojeva nije moguće tražiti najmanji broj, zato što, za razliku od skupa realnih brojeva, u skupu kompleksnih brojeva nije definisana relacija "[inlmath]<[/inlmath]".
A pošto su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] realni brojevi, "ključ" za rešavanje zadatka je, Daniel je to objasnio, tvrđenje koje kaže da kvadrat realnog broja ne može biti negativan.
Mnogo zadataka možemo rešiti primenom ovog jednostavnog tvrđenja, koje se lako dokazuje. I neke poznate nejednakosti možemo dokazati koristeći navedenu činjenicu. Možda bi za neke forumaše bilo korisno da se ovo tvrđenje obradi u posebnoj temi.

Hvala! Jasno!