Imam jedno pitanje u vezi kvadratne jednazbe. Zanima me koji uvjeti moraju biti ispunjeni da 2 kvadaratne jednazbe imaju jedan zajednicki korijen?
Ako bude trebalo stavit cu i primjer.
I dva konkretna zadatka: Za koje [inlmath]m\in\mathbb{R}[/inlmath] polinom [inlmath]f(x)=mx^2-x+m-2[/inlmath] ima tocno jednu nultocku u intervalu [inlmath][0,3][/inlmath]?
Za koje [inlmath]m\in\mathbb{R}[/inlmath] jedna nultočka polinoma [inlmath]2mx^2-(m-1)x-m+3[/inlmath] je manja od [inlmath]-1[/inlmath], a druga veća od [inlmath]-1[/inlmath]?
Unaprijed hvala.

matej je napisao:Imam jedno pitanje u vezi kvadratne jednazbe. Zanima me koji uvjeti moraju biti ispunjeni da 2 kvadaratne jednazbe imaju jedan zajednicki korijen?
Ako bude trebalo stavit cu i primjer.

Nisam siguran jesam li ovo pitanje dobro razumeo.
Ako imaš dve kvadratne jednačine, npr.
[inlmath]ax^2+bx+c=0[/inlmath]
i
[inlmath]dx^2+ex+f=0[/inlmath]
uslov da one imaju jedan zajednički koren bi bio da je zadovoljena jedna i samo jedna od sledećih jednakosti:
[dispmath]\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-e-\sqrt{e^2-4df}}{2d}[/dispmath]
[dispmath]\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-e+\sqrt{e^2-4df}}{2d}[/dispmath]
[dispmath]\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-e-\sqrt{e^2-4df}}{2d}[/dispmath]
[dispmath]\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-e+\sqrt{e^2-4df}}{2d}[/dispmath]
Ali, pošto je sve ovo veoma uopšteno, a kao što rekoh, nisam siguran ni jesam li dobro razumeo pitanje, najbolje će biti ipak da daš i konkretan primer.

matej je napisao:I dva konkretna zadatka: Za koje [inlmath]m\in\mathbb{R}[/inlmath] polinom [inlmath]f(x)=mx^2-x+m-2[/inlmath] ima tocno jednu nultocku u intervalu [inlmath][0,3][/inlmath]?

Pre svega, za [inlmath]m=0[/inlmath] ovaj kvadratni polinom postaje binom [inlmath]-x-2[/inlmath] i imaće tačno jednu nulu, u [inlmath]x=-2[/inlmath], ali pošto ona ne spada u interval [inlmath]\left[0,3\right][/inlmath], to rešenje otpada.

Da bi kvadratni polinom imao jednu i samo jednu nulu, njegova diskriminanta mora biti jednaka nuli.
Kod ovog polinoma, [inlmath]f\left(x\right)=mx^2-x+m-2[/inlmath], diskriminanta će biti
[dispmath]D=b^2-4ac[/dispmath][dispmath]D=\left(-1\right)^2-4m\left(m-2\right)[/dispmath][dispmath]D=-4m^2+8m+1[/dispmath][dispmath]D=0\quad\Rightarrow\quad -4m^2+8m+1=0[/dispmath]
Pa sad to računamo kao kvadratnu jednačinu.
[dispmath]m_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{8^2-4\cdot\left(-4\right)\cdot 1}}{-2\cdot 4}[/dispmath][dispmath]m_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{64+16}}{-8}[/dispmath][dispmath]m_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{80}}{-8}[/dispmath][dispmath]m_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{16\cdot 5}}{-8}[/dispmath][dispmath]m_{1,2}=\frac{-8\pm 4\sqrt 5}{-8}[/dispmath]
Posle skraćivanja sa [inlmath]\left(-4\right)[/inlmath]:
[dispmath]m_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt 5}{2}[/dispmath][dispmath]m_{1,2}=1\pm\frac{\sqrt 5}{2}[/dispmath]
Sada treba odrediti za koje od ova dva rešenja [inlmath]m[/inlmath] će polinom imati nulu u traženom intervalu [inlmath]\left[0,3\right][/inlmath].
[dispmath]m_1=1-\frac{\sqrt 5}{2}[/dispmath][dispmath]f\left(x\right)=mx^2-x+m-2=\left(1-\frac{\sqrt 5}{2}\right)x^2-x+1-\frac{\sqrt 5}{2}-2=\left(1-\frac{\sqrt 5}{2}\right)x^2-x-1-\frac{\sqrt 5}{2}[/dispmath][dispmath]x=\frac{1\pm\sqrt D}{2-\sqrt 5}=\frac{1}{2-\sqrt 5}[/dispmath]
Pošto je [inlmath]\frac{1}{2-\sqrt 5}[/inlmath] manje od nule, tj. ne spada u interval [inlmath]\left[0,3\right][/inlmath], ovo rešenje [inlmath]m[/inlmath] otpada.
[dispmath]m_2=1+\frac{\sqrt 5}{2}[/dispmath][dispmath]f\left(x\right)=mx^2-x+m-2=\left(1+\frac{\sqrt 5}{2}\right)x^2-x+1+\frac{\sqrt 5}{2}-2=\left(1+\frac{\sqrt 5}{2}\right)x^2-x-1+\frac{\sqrt 5}{2}[/dispmath][dispmath]x=\frac{1\pm\sqrt D}{2+\sqrt 5}=\frac{1}{2+\sqrt 5}[/dispmath]
Ovo rešenje očigledno spada u interval između nule i jedinice, tako da zadovoljava uslov da pripada intervalu [inlmath]\left[0,3\right][/inlmath].
Prema tome, rešenje je
[dispmath]m=1+\frac{\sqrt 5}{2}[/dispmath]

Za sad ovoliko, a za zadatak

matej je napisao:Za koje [inlmath]m\in\mathbb{R}[/inlmath] jedna nultočka polinoma [inlmath]2mx^2-(m-1)x-m+3[/inlmath] je manja od [inlmath]-1[/inlmath], a druga veća od [inlmath]-1[/inlmath]?

odgovor će stići malo kasnije.

Hvala vam puno,nego da ja dam konkretan primjer.
Za koju vrijednost realnog parametra [inlmath]a[/inlmath] jednazbe [inlmath](1-2a)x^2-6ax-1=0[/inlmath] i [inlmath]ax^2-x+1[/inlmath] imaju zajedničko rješenje?
Ili jedan lakši: odredi koeficijent [inlmath]k[/inlmath] tako da kvadratne jednazbe [inlmath]x^2+kx+6=0[/inlmath] i [inlmath]2x^2+kx+2=0[/inlmath]imaju zajednicki korijen?
Što se tiče ovog drugog zadatka kad se reklo točno jednu nultočku u zadanom intervalu mislim da se mislilo da je jedna u tom intervalu a druga nije.

matej je napisao:Hvala vam puno

Khm... Bez persiranja, moliću...

matej je napisao:Za koju vrijednost realnog parametra [inlmath]a[/inlmath] jednazbe [inlmath](1-2a)x^2-6ax-1=0[/inlmath] i [inlmath]ax^2-x+1[/inlmath] imaju zajedničko rješenje?

Prilično dvosmislena formulacija, a u matematici nije lepo kad je nešto dvosmisleno. Ovako kako je napisano, ja sam prvo protumačio da jedno rešenje jednačine [inlmath]\left(1-2a\right)x^2-6ax-1=0[/inlmath] mora biti jednako jednom rešenju jednačine [inlmath]ax^2-x+1=0[/inlmath] i krenuo sam da radim po onim formulama koje sam ti napisao (one četiri formule, da ih sad ne ponavljam, koje se međusobno razlikuju po plusevima i minusima), ali, prvo što se oteliš od posla dok to svedeš na iole uprošćen izraz, postupak zahteva ogroman posao a maltene nikakvo posebno znanje, što bi se reklo – čist fizički rad, a drugo, što se na kraju dobije neka jednačina četvrtog stepena koja se dâ rešiti isključivo numeričkim putem... Čisto sumnjam da vas teraju da radite zadatke takve težine, biće ipak da se u zadatku traži da svaka od ove dve jednačine ima tačno jedno rešenje. U tom slučaju, to nije problem uraditi i radi se na vrlo sličan način kao onaj zadatak što sam ti već uradio – diskriminantu izjednačiš s nulom i za prvu jednačinu bi se tada dobilo da nema realnih rešenja za parametar [inlmath]a[/inlmath], dok se za drugu dobije da je [inlmath]a=\frac{1}{4}[/inlmath].

Samo, molim te, ako si u mogućnosti, proveri ti ipak tu formulaciju zadatka, šta se tu tačno traži. I reci mi, da li je to zadatak za srednju školu ili za fakultet (i koji) i za koju godinu?


EDIT: Tek sad vidim da si u međuvremenu dopisao svoj post. Pogledaću i to što si dodao, pa ću odgovoriti kasnije.

Ja sam drugi razred srednje, i ovaj zadatak je u mom udzbeniku pod slozenijim zadacima. Nebi toliko trazio odgovor na ovo pitanje da se ne pripremam za natjecanje, a zadatak sto sam ga ja napisao je jednak onome sto pise u knjizi. Vidio sam na jednom natjecanju prije da se ovakav tip zadatka(isto sa zajednickim korijenom 2 kvadratnih jednazbi) rjesavao oduzimanjem ( ili zbrajanjem) jedne jednazbe od druge. U knjizi ne pise nikakav postupak rjesavanja nego samo rjesenja [inlmath]a=0,\:\frac{2}{9},\:-\frac{3}{4}[/inlmath].

matej je napisao:nego samo rjesenja [inlmath]a=0,\:\frac{2}{9},\:-\frac{3}{4}[/inlmath].

Da, onda to jeste ono kako sam prvobitno protumačio – da se traži da je jedno rešenje jedne jednačine jednako jednom rešenju druge, jer upravo te brojne vrednosti odgovaraju tom uslovu...

matej je napisao:Ili jedan lakši: odredi koeficijent [inlmath]k[/inlmath] tako da kvadratne jednazbe [inlmath]x^2+kx+6=0[/inlmath] i [inlmath]2x^2+kx+2=0[/inlmath] imaju zajednicki korijen?

E ovaj bi se već mogao uraditi mnogo, mnogo lakše od prethodnog.
Možemo primeniti ovakvu metodu: nađemo preseke te dve parabole, a onda odredimo [inlmath]k[/inlmath] tako da [inlmath]y[/inlmath]-koordinata jednog od ta dva preseka bude [inlmath]0[/inlmath]. I to će onda biti jedan zajednički koren za oba ta polinoma.
[dispmath]x^2+kx+6=2x^2+kx+2[/dispmath][dispmath]x^2-4=0[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=\pm 2[/dispmath][dispmath]x=-2\quad\Rightarrow\quad\left(-2\right)^2-2k+6=0\quad\Rightarrow\quad k=5[/dispmath][dispmath]x=2\quad\Rightarrow\quad 2^2+2k+6=0\quad\Rightarrow\quad k=-5[/dispmath]
Pa bi unija ova dva rešenja bila
[dispmath]k\in\left\{-5,5\right\}[/dispmath]

matej je napisao:Što se tiče ovog drugog zadatka kad se reklo točno jednu nultočku u zadanom intervalu mislim da se mislilo da je jedna u tom intervalu a druga nije.

Da, mislim da si u pravu, ja sam to bio protumačio kao da se traži da ima tačno jednu nulu i da ona bude u tom intervalu, ali sad sam još jednom pročitao tekst zadatka i mislim da tvoje tumačenje ima više smisla.
Pa, ja bih postavio uslov da:
1) nula s manjom [inlmath]x[/inlmath]-koordinatom pripada intervalu [inlmath]\left(-\infty,0\right)[/inlmath], a nula s većom [inlmath]x[/inlmath]-koordinatom intervalu [inlmath]\left[0,3\right][/inlmath];
ili
2) nula s manjom [inlmath]x[/inlmath]-koordinatom pripada intervalu [inlmath]\left[0,3\right][/inlmath], a nula s većom [inlmath]x[/inlmath]-koordinatom intervalu [inlmath]\left(3,+\infty\right)[/inlmath];
to jest
[dispmath]mx^2-x+m-2=0[/dispmath]
[dispmath]x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1-4m\left(m-2\right)}}{2m}=\frac{1\pm\sqrt{-4m^2+8m+1}}{2m}[/dispmath]
pa onda za slučaj [inlmath]m<0[/inlmath]:
[dispmath]\left(\frac{1+\sqrt{-4m^2+8m+1}}{2m}<0\:\land\: 0\le\frac{1-\sqrt{-4m^2+8m+1}}{2m}\le 3\right)[/dispmath][dispmath]\lor[/dispmath][dispmath]\left(0\le\frac{1+\sqrt{-4m^2+8m+1}}{2m}\le 3\:\land\:\frac{1-\sqrt{-4m^2+8m+1}}{2m}>3\right)[/dispmath]
a za slučaj [inlmath]m>0[/inlmath]:
[dispmath]\left(\frac{1-\sqrt{-4m^2+8m+1}}{2m}<0\:\land\: 0\le\frac{1+\sqrt{-4m^2+8m+1}}{2m}\le 3\right)[/dispmath][dispmath]\lor[/dispmath][dispmath]\left(0\le\frac{1-\sqrt{-4m^2+8m+1}}{2m}\le 3\:\land\:\frac{1+\sqrt{-4m^2+8m+1}}{2m}>3\right)[/dispmath]
I sad je to dalje Sizifov posô rešavati ove nejednačine, diskutovati slučajeve i podslučajeve, nalaziti preseke i unije rešenja itd...

Ovaj sam nekako uradio, mada, kao što i vidiš, ima baš doooosta da se piše:

matej je napisao:Za koje [inlmath]m\in\mathbb{R}[/inlmath] jedna nultočka polinoma [inlmath]2mx^2-(m-1)x-m+3[/inlmath] je manja od [inlmath]-1[/inlmath], a druga veća od [inlmath]-1[/inlmath]?

Pre svega postavljamo uslov da je [inlmath]m\ne 0[/inlmath], jer bi se u suprotnom dati polinom sveo na binom, pa ne bi mogao imati dva rešenja.
Nule ovog polinoma su
[dispmath]x_{1,2}=\frac{m-1\pm\sqrt{\left(m-1\right)^2-8m\left(-m+3\right)}}{4m}=\frac{m-1\pm\sqrt{9m^2-26m+1}}{4m}[/dispmath]
Da bi ovaj polinom imao dve nule, izraz pod korenom mora biti veći od nule:
[dispmath]9m^2-26m+1>0[/dispmath][dispmath]m_{1,2}=\frac{26\pm\sqrt{26^2-4\cdot 9}}{18}=\frac{13\pm\sqrt{13^2-9}}{9}=\frac{13\pm\sqrt{160}}{9}=\frac{13\pm 4\sqrt{10}}{9}[/dispmath]
A kad se to sračuna, dobije se uslov
[dispmath]\underline{m<0,03899\quad\lor\quad m>2,8499}[/dispmath]
Sada treba postaviti uslov da je nula ovog polinoma s manjom [inlmath]x[/inlmath]-koordinatom manja od [inlmath]-1[/inlmath], a nula s većom [inlmath]x[/inlmath]-koordinatom veća od [inlmath]-1[/inlmath].
Nula s manjom [inlmath]x[/inlmath]-koodrinatom će biti
[dispmath]\frac{m-1+\sqrt{9m^2-26m+1}}{4m}[/dispmath]
ako je [inlmath]m<0[/inlmath],
odnosno
[dispmath]\frac{m-1-\sqrt{9m^2-26m+1}}{4m}[/dispmath]
ako je [inlmath]m>0[/inlmath].

Razmatramo, zato, odvojene slučajeve kada je [inlmath]m<0[/inlmath] i kada je [inlmath]m>0[/inlmath].


[inlmath]1^\circ\quad m<0[/inlmath]:
[dispmath]\frac{m-1+\sqrt{9m^2-26m+1}}{4m}<-1\quad\land\quad\frac{m-1-\sqrt{9m^2-26m+1}}{4m}>-1[/dispmath]
Rešavamo svaku posebno, pa posle tražimo presek njihovih rešenja.
[dispmath]\frac{m-1+\sqrt{9m^2-26m+1}}{4m}<-1[/dispmath]
Množenjem s [inlmath]4m[/inlmath] se znak nejednakosti menja, jer je [inlmath]m<0[/inlmath]:
[dispmath]m-1+\sqrt{9m^2-26m+1}>-4m[/dispmath][dispmath]-5m+1<\sqrt{9m^2-26m+1}[/dispmath]
Pošto je izraz na desnoj strani uvek veći od nule, jedno od rešenja nejednačine je [inlmath]-5m+1<0[/inlmath], tj. [inlmath]m>\frac{1}{5}[/inlmath], ali ono otpada, s obzirom na pretpostavku [inlmath]m<0[/inlmath].
A ako je [inlmath]-5m+1>0[/inlmath], možemo kvadrirati obe strane, ne narušavajući znak nejednakosti:
[dispmath]25m^2-10m+1<9m^2-26m+1[/dispmath][dispmath]16m^2+16m<0[/dispmath][dispmath]m\left(m+1\right)<0[/dispmath][dispmath]-1<m<0[/dispmath]
Ovo rešenje u preseku s pretpostavkom [inlmath]m<0[/inlmath] daje [inlmath]\underline{-1<m<0}[/inlmath].

Sada tražimo rešenja nejednačine
[dispmath]\frac{m-1-\sqrt{9m^2-26m+1}}{4m}>-1[/dispmath]
pa će presek njenih rešenja s malopre dobijenim rešenjem [inlmath]-1<m<0[/inlmath] dati konačno rešenje za pretpostavku [inlmath]m<0[/inlmath].
[dispmath]m-1-\sqrt{9m^2-26m+1}<-4m[/dispmath][dispmath]5m-1<\sqrt{9m^2-26m+1}[/dispmath]
Pošto je izraz na desnoj strani uvek veći od nule, jedno od rešenja nejednačine je [inlmath]5m-1<0[/inlmath], tj. [inlmath]m<\frac{1}{5}[/inlmath].
A ako je [inlmath]5m-1>0[/inlmath], možemo kvadrirati obe strane, ne narušavajući znak nejednakosti:
[dispmath]25m^2-10m+1<9m^2-26m+1[/dispmath][dispmath]16m^2+16m<0[/dispmath][dispmath]m\left(m+1\right)<0[/dispmath][dispmath]-1<m<0[/dispmath]
Unija rešenja [inlmath]m<\frac{1}{5}[/inlmath] i [inlmath]-1<m<0[/inlmath] daje [inlmath]m<\frac{1}{5}[/inlmath], a to rešenje u preseku s pretpostavkom [inlmath]m<0[/inlmath] daje [inlmath]\underline{m<0}[/inlmath].

Presek rešenja [inlmath]-1<m<0[/inlmath] i [inlmath]m<0[/inlmath] daje [inlmath]\underline{-1<m<0}[/inlmath] i to je konačno rešenje za slučaj [inlmath]m<0[/inlmath].


[inlmath]2^\circ\quad m>0[/inlmath]:
[dispmath]\frac{m-1-\sqrt{9m^2-26m+1}}{4m}<-1\quad\land\quad\frac{m-1+\sqrt{9m^2-26m+1}}{4m}>-1[/dispmath]
Rešavamo svaku posebno, pa posle tražimo presek njihovih rešenja.
[dispmath]\frac{m-1-\sqrt{9m^2-26m+1}}{4m}<-1[/dispmath]
Množenjem s [inlmath]4m[/inlmath] se znak nejednakosti ne menja, jer je [inlmath]m>0[/inlmath]:
[dispmath]m-1-\sqrt{9m^2-26m+1}<-4m[/dispmath][dispmath]5m-1<\sqrt{9m^2-26m+1}[/dispmath]
Pošto je izraz na desnoj strani uvek veći od nule, jedno od rešenja nejednačine je [inlmath]5m-1<0[/inlmath], tj. [inlmath]m<\frac{1}{5}[/inlmath].
A ako je [inlmath]5m-1>0[/inlmath], možemo kvadrirati obe strane, ne narušavajući znak nejednakosti:
[dispmath]25m^2-10m+1<9m^2-26m+1[/dispmath][dispmath]16m^2+16m<0[/dispmath][dispmath]m\left(m+1\right)<0[/dispmath][dispmath]-1<m<0[/dispmath]
Unija rešenja [inlmath]m<\frac{1}{5}[/inlmath] i [inlmath]-1<m<0[/inlmath] daje [inlmath]m<\frac{1}{5}[/inlmath], a to rešenje u preseku s pretpostavkom [inlmath]m>0[/inlmath] daje [inlmath]\underline{0<m<\frac{1}{5}}[/inlmath].

Sada tražimo rešenja nejednačine
[dispmath]\frac{m-1+\sqrt{9m^2-26m+1}}{4m}>-1[/dispmath]
pa će presek njenih rešenja s malopre dobijenim rešenjem [inlmath]0<m<\frac{1}{5}[/inlmath] dati konačno rešenje za pretpostavku [inlmath]m>0[/inlmath].
[dispmath]m-1+\sqrt{9m^2-26m+1}>-4m[/dispmath][dispmath]-5m+1<\sqrt{9m^2-26m+1}[/dispmath]
Pošto je izraz na desnoj strani uvek veći od nule, jedno od rešenja nejednačine je [inlmath]-5m+1<0[/inlmath], tj. [inlmath]m>\frac{1}{5}[/inlmath].
A ako je [inlmath]-5m+1>0[/inlmath], možemo kvadrirati obe strane, ne narušavajući znak nejednakosti:
[dispmath]25m^2-10m+1<9m^2-26m+1[/dispmath][dispmath]16m^2+16m<0[/dispmath][dispmath]m\left(m+1\right)<0[/dispmath][dispmath]-1<m<0[/dispmath]
Unija rešenja [inlmath]m>\frac{1}{5}[/inlmath] i [inlmath]-1<m<0[/inlmath] daje [inlmath]-1<m<0\quad\lor\quad m>\frac{1}{5}[/inlmath], a to rešenje u preseku s pretpostavkom [inlmath]m>0[/inlmath] daje [inlmath]\underline{m>\frac{1}{5}}[/inlmath].

Presek rešenja [inlmath]0<m<\frac{1}{5}[/inlmath] i [inlmath]m>\frac{1}{5}[/inlmath] daje prazan skup i to je konačno rešenje za slučaj [inlmath]m>0[/inlmath].

Prema tome, kada se nađe unija rešenja za pretpostavke [inlmath]m<0[/inlmath] i [inlmath]m>0[/inlmath], ona će biti [inlmath]-1<m<0[/inlmath].

Presek ove unije i uslova koje smo na početku postavili, [inlmath]m\ne 0[/inlmath] i [inlmath]\left(m<0,03899\:\lor\: m>2,8499\right)[/inlmath], jednak je toj uniji, tako da konačan skup rešenja ostaje [inlmath]\underline{-1<m<0}[/inlmath].


Zbog kompleksnosti postupka ne dajem garanciju da je celo ovo pisanije "100% error-free", ali princip je otprilike taj...)

matej je napisao:Za koju vrijednost realnog parametra [inlmath]a[/inlmath] jednazbe [inlmath](1-2a)x^2-6ax-1=0[/inlmath] i [inlmath]ax^2-x+1[/inlmath] imaju zajedničko rješenje?

Sad sam ga uradio ponovo i bez problema dobio rešenje... Istom metodom kao i onaj s parametrom [inlmath]k[/inlmath]... Najveći je štos to što sam ga prošli put radio i onom i ovom metodom i opet dobio onu kobasicu 4. stepena, pa batalio... Biće da sam se tada u nekom koraku zafrkno, ali bitno je da je, evo, rešenje sada tu.
[dispmath]\left(1-2a\right)x^2-6ax-1=0[/dispmath][dispmath]ax^2-x+1=0[/dispmath]
Sada nađemo presečne tačke ove dve parabole, tako što ćemo njihove formule izjednačiti:
[dispmath]\left(1-2a\right)x^2-6ax-1=ax^2-x+1[/dispmath][dispmath]\left(3a-1\right)x^2+\left(6a-1\right)x+2=0[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=\frac{1-6a\pm\sqrt{36a^2-12a+1-8\left(3a-1\right)}}{2\left(3a-1\right)}[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=\frac{1-6a\pm\sqrt{36a^2-36a+9}}{2\left(3a-1\right)}[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=\frac{1-6a\pm 3\sqrt{4a^2-4a+1}}{2\left(3a-1\right)}[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=\frac{1-6a\pm 3\left(2a-1\right)}{2\left(3a-1\right)}[/dispmath]
(Da, definitivno sam ovde pod korenom bio nešto zbrljo, jer prošli put nisam dobio da se ovako elegantno oslobađam korena )
[dispmath]x_{1,2}=\frac{1-6a\pm\left(6a-3\right)}{2\left(3a-1\right)}[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{2-6a}{3a-1}[/dispmath][dispmath]x_1=-2[/dispmath][dispmath]x_2=\frac{1}{1-3a}[/dispmath]
To su [inlmath]x[/inlmath]-koordinate presečnih tačaka ove dve funkcije. Da bi neka od te dve presečne tačke bila istovremeno i zajednički koren ove dve funkcije, treba odrediti parametar [inlmath]a[/inlmath] tako da u toj presečnoj tački vrednost funkcije bude nula. To radimo tako što ćemo u neku od one dve kvadratne jednačine umesto [inlmath]x[/inlmath] uvrstiti [inlmath]x[/inlmath]-koordinate prvo jedne, zatim druge presečne tačke.
Uvrstićemo prvo [inlmath]x_1=-2[/inlmath]:
[dispmath]a\left(-2\right)^2-\left(-2\right)+1=0[/dispmath][dispmath]4a+2+1=0[/dispmath][dispmath]\underline{a=-\frac{3}{4}}[/dispmath]
Zatim ćemo uvrstiti [inlmath]x_2=\frac{1}{1-3a}[/inlmath]:
[dispmath]a\left(\frac{1}{1-3a}\right)^2-\frac{1}{1-3a}+1=0[/dispmath][dispmath]\frac{a}{\left(1-3a\right)^2}-\frac{1-3a}{\left(1-3a\right)^2}+\frac{\left(1-3a\right)^2}{\left(1-3a\right)^2}=0[/dispmath][dispmath]\frac{a-1+3a+1-6a+9a^2}{\left(1-3a\right)^2}=0[/dispmath][dispmath]9a^2-2a=0[/dispmath][dispmath]a\left(9a-2\right)=0[/dispmath][dispmath]\underline{a=0\quad\lor\quad a=\frac{2}{9}}[/dispmath]
Znači, ukupno tri rešenja:
[dispmath]a\in\left\{-\frac{3}{4},0,\frac{2}{9}\right\}[/dispmath]

Hvala puno, to je to.