MATEMANIJA

Na skupu [inlmath]G = \left\{ (a, m) | a\in \mathbb{Q}\setminus \left\{0\right\}, m\in \mathbb{Z} \right\}[/inlmath] definisana je operacija [inlmath]\ast[/inlmath] sa:

[dispmath](a, m)\ast (b, n) = \left ( \frac{ab}{4}, m+n-1 \right ) , a, b \in \mathbb{Q}\setminus \left\{0 \right\}, m, n \in \mathbb{Z}[/dispmath]

Potrebno je proveriti 5 stvari:
1. Zatvorenost
2. Asocijativnost
3. Neutral
4. Inverz
5. Komutativnost (za Abelovu)

Ono što meni nije najjasnije je kako je formulisan zadatak, moram da istovremeno proveravam dva različita skupa?

1.1 Za [inlmath]a, b \in \mathbb{Q}\setminus \left\{0 \right\}[/inlmath]: Pretpostavim suprotno da postoje [inlmath]a, b \in \mathbb{Q}\setminus \left\{0 \right\}[/inlmath] tdj. [inlmath]a\ast b = 0[/inlmath]. Dakle [inlmath]\frac{ab}{4} = 0 \rightarrow ab = 0 \rightarrow a = 0 \vee b = 0[/inlmath]
1.2 Za [inlmath]m, n \in \mathbb{Z}[/inlmath]: Trivijalno važi, nema šta da se pokazuje jer nema 'rupa' u domenu.
2. Ovde sam već zbunjen, jel moram da napravim treći par poput [inlmath](c, r)[/inlmath] i onda pokažem da je [inlmath](a, m) * \left ( (b, n) * (c, r) \right ) = \left ( (a, m) * (b, n) \right ) * (c, r)[/inlmath]??
3. Opet imam nedoumice: [inlmath](a, m)\ast (e, e) = (a, m) \rightarrow \left ( \frac{ae}{4} = a, m+e-1 = m \right )[/inlmath] i dobijem dva neutralna elementa? [inlmath]e = 4 \wedge e = 1[/inlmath]
4. Iz ovoga će slediti inverzi: [inlmath](a, m)\ast (a^{-1}, m^{-1}) = (e, e) \rightarrow[/inlmath] Dalje sam dobio [inlmath]a^{-1} = \frac{16}{a} \wedge m^{-1} = 2 - m[/inlmath] i oba vratio nazad da proverim.
5. Komutativnost je trivijalna.

Da li je sve ovo dobro ili sam negde pogrešio? Prvi put se susrećem sa ovako definisanom grupom pa je moguće da sam nešto protumačio pogrešno.

Suštinski si sve rezonovao i odradio odlično, samo treba voditi računa o par sitnica pri zapisu.

DaniloJ je napisao:1.1 Za [inlmath]a, b \in \mathbb{Q}\setminus \left\{0 \right\}[/inlmath]: Pretpostavim suprotno da postoje [inlmath]a, b \in \mathbb{Q}\setminus \left\{0 \right\}[/inlmath] tdj. [inlmath]a\ast b = 0[/inlmath].

Operacija [inlmath]\ast[/inlmath] je definisana nad uređenim parovima a ne nad brojevima, pa samim tim zapis [inlmath]a\ast b[/inlmath] nema smisla. Umesto [inlmath]a\ast b=0[/inlmath] ovde bi bilo ispravno [inlmath](a,m)\ast(b,n)=(0,k)\;(k\in\mathbb{Z})[/inlmath].

DaniloJ je napisao:2. Ovde sam već zbunjen, jel moram da napravim treći par poput [inlmath](c, r)[/inlmath] i onda pokažem da je [inlmath](a, m) * \left ( (b, n) * (c, r) \right ) = \left ( (a, m) * (b, n) \right ) * (c, r)[/inlmath]??

Da, upravo tako. Ali lako se dokazuje, u tri reda.

DaniloJ je napisao:3. Opet imam nedoumice: [inlmath](a, m)\ast (e, e) = (a, m) \rightarrow \left ( \frac{ae}{4} = a, m+e-1 = m \right )[/inlmath] i dobijem dva neutralna elementa? [inlmath]e = 4 \wedge e = 1[/inlmath]

Nisu to dva neutralna elementa, nego su to, da ih tako nazovem, dve komponente (jedinstvenog) neutralnog elementa. Jer, kao što malopre naglasih, posmatrani skup [inlmath]G[/inlmath] nije skup brojeva, već skup uređenih parova. Tako će i neutralni element tog skupa takođe biti uređeni par, a ne broj. I ti si sasvim ispravno dobio da je taj uređeni par [inlmath]e=(4,1)[/inlmath], i to je jedinstveni neutralni element.
Jedino bi trebalo da umesto [inlmath](e,e)[/inlmath] te komponente neutralnog elementa obeležiš različito. Npr. [inlmath](e_1,e_2)[/inlmath], ili [inlmath](e_\mathbb{Q},e_\mathbb{Z})[/inlmath], ili [inlmath](e_a,e_m)[/inlmath], ili kako god želiš.