MATEMANIJA

Zdravo svima,

Probao sam rešiti zadatak 14. sa prijemnog za ETF 2023. godine, gde je razlika najvećeg i najmanjeg realnog rešenja nejednačine [inlmath]\log_\frac{1}{2}\left(\sqrt{x+1}-x\right)\le2[/inlmath], [inlmath]9/4[/inlmath].

Ja sam postavio uslov:

[inlmath]\sqrt{x+1}-x\ge0[/inlmath]

Gde ispada da je:

[inlmath]x\in\left[\frac{1-\sqrt5}{2},\frac{1+\sqrt5}{2}\right][/inlmath]

Onda rešavanjem jednačine dobijem da je [inlmath]x\in\left[-\frac{3}{4},\frac{5}{4}\right][/inlmath].

To se preseče sa uslovom i dobije se [inlmath]x\in\left[\frac{1-\sqrt5}{2},\frac{5}{4}\right][/inlmath].

Ali da bi dobio tačno rešenje, deluje kao da donja granica mora da bude [inlmath]-1[/inlmath], zar ne? A to ne znam kako bih dobio kao krajnji uslov.

Šta vi mislite, gde sam pogrešio?

Dobro došao na forum!
Najpre da napomenem da je logaritam definisan ako je numerus pozitivan. Prema tome, prvi uslov koji navodiš treba da bude [dispmath]\sqrt{x+1}-x>0.[/dispmath] Pogrešio si i prilikom rešavanja nejednačine. Skup rešenja koji navodiš nije skup rešenja navedene nejednačine.
Prilikom rešavanja iracionalnih nejednačina sa kvadratnim korenima ( sa "2n" - korenima ) nejednačine " kvadriramo ". Dobijena nejednačina nije ekvivalentna sa datom jednačinom, pa navodimo uslove koji obezbeđuju ekvivalenciju. A tu najčešće grešimo - ispustimo neki od uslova. Međutim, kod nekih iracionalnih nejednačina, "kvadrirana" nejednačina, iako navedemo sve potrebne uslove, nije ekvivalentna sa polaznom nejednačinom. Treba uočiti još neke uslove koji će obezbediti ( u uniji sa rešenjima " kvadrirane " ...) skup svih rešenja date nejednačine. Ti uslovi slede iz činjenice da je po definiciji kvadratni koren nenegativan, i iz osobina nejednakosti. Naime, ako su A i B realni brojevi, implikacija [dispmath]A<B \Rightarrow A^2<B^2[/dispmath] nije uvek tačna ( neka je A=-5, B=2 ). Ako je [inlmath]A>0[/inlmath], implikacija je tačna. Ako je [inlmath]B<0[/inlmath], implikacija je netačna. Ako je [inlmath]A<0<B[/inlmath], implikacija je tačna ako je [inlmath]|A|<B[/inlmath].
A sada malo konktretnije. Uslov koji " obezbeđuje " definisanost logaritma je [inlmath]\sqrt{x+1}>x[/inlmath]. " Kvadriranjem..." dobijaš jedan deo skupa rešenja navedene nejednačine. Preostala rešenja ćeš dobiti ako iskoristiš činjenicu da je navedena nejednakost tačna ako je [inlmath]x\le0[/inlmath] ( naravno uz uslov da je [inlmath]x+1\ge 0[/inlmath], koji obezbuđuje da koren bude realan, ... ). Slično postupi i sa drugom nejednačinom.
Napiši, ako ove napomene nisu dovoljne.

Hvala puno na odgovoru, ali bojim se da sam sad još uvek zbunjen, ako ne i više nego pre.

Dobijem uslov [inlmath]x\in\left[-1,\frac{1+\sqrt5}{2}\right][/inlmath], ali mi najmanje rešenje ispada [inlmath]\frac{-3}{4}[/inlmath], jer na kraju i dalje dobijam nejednačinu [inlmath]16x^2-8x-15[/inlmath] da je manja ili jednaka sa nulom.

Jedino mi dolazi ideja da ako se znak ne menja kada se otkačinjemo logaritama, ali to ne znam kako bi bilo moguće pošto je [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] osnova.

Da bi logaritam u datoj nejednačini bio definisan, treba da bude[dispmath]\sqrt{x+1}-x>0 \iff x\in[-1,\frac{1+\sqrt5}{2})=D.[/dispmath]Data nejednačina [dispmath]\log_\frac{1}{2}\left(\sqrt{x+1}-x\right)\le2=2 \cdot \log_\frac{1}{2} \frac{1}{2} =\log_\frac{1}{2} \frac{1}{4}[/dispmath] je ekvivalentna sa konjunkcijom [dispmath]\sqrt{x+1}-x \ge \frac{1}{4} \land x\in D.[/dispmath] Nejednačinu [dispmath]\sqrt{x+1}-x \ge \frac{1}{4} \iff 4 \sqrt{x+1} \ge 4x+1[/dispmath] rešavamo u dva koraka, posebno ako je desna strana [inlmath](4x+1)[/inlmath] nenegativna, posebno ako je ta strana negativna ( isti način je korišćen prilikom rešavanja prethodne nejednačine, odnosno uslova ). [dispmath]4 \sqrt{x+1} \ge 4x+1 \iff (4 \sqrt{x+1} \ge 4x+1 \land x+1 \ge 0 \land 4x+1 \ge 0) \lor (4 \sqrt{x+1} \ge 4x+1 \land x+1 \ge 0 \land 4x+1 < 0).[/dispmath] Pošto si, " kvadriranjem ", delimično rešio slučaj kada je [inlmath]4x+1 \ge 0[/inlmath], navodim samo rešenje [dispmath](4 \sqrt{x+1} \ge 4x+1 \land x+1 \ge 0 \land 4x+1 \ge 0) \iff x\in[-\frac{1}{4},\frac{5}{4}].[/dispmath] Ako je [inlmath]4x+1<0[/inlmath], nejednakost [inlmath]4 \sqrt{x+1} \ge 4x+1[/inlmath] je tačna za sve vrednosti promenljive [inlmath]x[/inlmath] za koje je kvadratni koren realan, odnosno za [inlmath]x+1 \ge0[/inlmath], zato što kvadratni koren, po definiciji, ne može da bude negativan. Dakle [dispmath](4 \sqrt{x+1} \ge 4x+1 \land x+1 \ge 0 \land 4x+1 < 0) \iff ( x+1 \ge 0 \land 4x+1 < 0) \iff x \in [-1,-\frac{1}{4}).[/dispmath] Sledi da je [dispmath]4 \sqrt{x+1} \ge 4x+1 \iff ( x\in[-\frac{1}{4},\frac{5}{4}]) \lor (x \in [-1,-\frac{1}{4})) \iff x\in[-1,\frac{5}{4}].[/dispmath] Prema tome [dispmath]\log_\frac{1}{2}\left(\sqrt{x+1}-x\right)\le2 \iff x\in[-1,\frac{5}{4}] \land x\in[-1,\frac{1+\sqrt5}{2}) \iff \enclose{box}{x\in[-1,\frac{5}{4}]}.[/dispmath]

Hvala puno, sad mi je znatno jasnije.

Znaci kod iracionalnih desna strana koja nije pod korenom a ima promenljivu gde je strana pod korenom veca od nje moze da bude i veca i manja od nule?

Ima smisla, ne znam kako sam to propustio do sad.