MATEMANIJA

Pozdrav,

Da li bi neko mogao da mi objasni kako da sredim ovaj sistem? Nije mi potrebno rešenje, već samo naznake u kom pravcu da krenem sa rešavanjem.

Do sad sam pokušao da obe jednačine svedem na oblik pogodan za računanje determinante, ali nisam uspeo. Takođe sam probao Gausov metod, ali sam se prilično brzo zaglavio.
[dispmath]\frac{1}{x+1}+m(y-2)=1[/dispmath] [dispmath]\frac{m}{x+1}+y-1=2m[/dispmath]
Zadatak: 749 d), "Matematika 1"

Hvala unapred.

Ovo nije sistem linearnih jednačina, budući da se u ovim jednačinama [inlmath]x[/inlmath] nalazi u imeniocu, a linearne jednačine su oblika [inlmath]ax+by=c[/inlmath].
Ali, ovaj sistem se može svesti na sistem linearnih jednačina, ako se uvede smena [inlmath]\frac{1}{x+1}=t[/inlmath]. Svi slobodni članovi se prebace na desnu stranu (pri čemu se [inlmath]m\left(y-2\right)[/inlmath], naravno, napiše kao [inlmath]my-2m[/inlmath], pa se i [inlmath]2m[/inlmath], kao slobodan član, prebaci na desnu stranu), i zatim se rešava sistem od dve linearne jednačine po nepoznatama [inlmath]t[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath].
Na kraju se iz [inlmath]t[/inlmath] nađe koliko je [inlmath]x[/inlmath] i to je to.

E, hvala ti puno, Daniele

Inače, kako se zove ovakav sistem?

Koliko mi je poznato, nema neki poseban naziv. Možeš reći sistem nelinearnih jednačina, ili samo sistem jednačina.

U redu.

Evo postupka za rešavanje ovog zadatka, pošto mi se rešenja ne poklapaju sa onima iz zbirke, pa da uočite gde je greška.
[dispmath]\frac{1}{x+1}+m(y−2)=1[/dispmath][dispmath]\frac{m}{x+1}+y−1=2m[/dispmath]
[dispmath]t=\frac{1}{x+1}[/dispmath]
[dispmath]t+m(y−2)=1[/dispmath][dispmath]mt+y−1=2m[/dispmath]
Resavanjem determninate se dobija:
[dispmath]D=(m-1)(m+1)[/dispmath]
Resavamo prvi slucaj za [inlmath]D=0[/inlmath]
[dispmath]m-1=0[/dispmath][dispmath]m=1[/dispmath]
Resavanjem sistema jednačina Gausovim metodom dobijamo da sistem ima beskonačno rešenja i dobijamo da je rešenje sistema za [inlmath]m=1,\;(t,3-t),\;t\in\mathbb{R}[/inlmath]
Dok za drugi slučaj, kada je [inlmath]m+1=0[/inlmath], tj. [inlmath]m=-1[/inlmath], sistem nema rešenja.

Prelazimo na drugi slučaj, tj. [inlmath]D\ne0[/inlmath].
[inlmath]m\ne\pm1[/inlmath]
Rešavamo determinantu za [inlmath]t[/inlmath], tj. [inlmath]D_t[/inlmath].
[dispmath]D_t=\left|\begin{matrix}
1+2m & m\\
2m+1 & 1\\
\end{matrix}\right|=1+2m-2m^2-m=-2m^2+m+1=-2\left(m+\frac{1}{2}\right)(m-1)=(-2m-1)(m-1)[/dispmath]
rastavljeno pomoću formule [inlmath]a(x-x_1)(x-x_2)[/inlmath]
[dispmath]t=\frac{D_t}{D}=\frac{(-2m-1)\cancel{(m-1)}}{\cancel{(m-1)}(m+1)}=\frac{-2m-1}{m+1}[/dispmath]
Resavamo [inlmath]D_y[/inlmath]
[dispmath]D_y=\left|\begin{matrix}
1 & 1+2m\\
m & 2m+1\\
\end{matrix}\right|=(-2m-1)(m-1)[/dispmath]
[dispmath]y=\frac{D_y}{D}=\frac{-2m-1}{m+1}[/dispmath]
Posto smo odradili oba slucaja, vracamo smenu [inlmath]t=\frac{1}{x+1}[/inlmath] za drugi slučaj:
[dispmath]\frac{-2m-1}{m+1}=\frac{1}{x+1}\\
(x+1)(-2x-1)=m+1\\
x(-2m-1)=m+1+2m+1\\
x=\frac{3m+2}{-2m-1}[/dispmath]
Dakle, rešenja su:
[dispmath]D=0[/dispmath]
Za [inlmath]m=1[/inlmath] [dispmath]\left(\frac{1}{x+1},3-\frac{1}{x+1}\right)[/dispmath]
Za [inlmath]m=-1[/inlmath], nema rešenja
[dispmath]D\ne 0\\
\left(\frac{3m+2}{-2m-1},\frac{-2m-1}{m+1}\right)[/dispmath]
Imate li predstavu gde je greška?

Evo greške.

stevan95 je napisao:Resavanjem determninate se dobija:
[dispmath]D=(m-1)(m+1)[/dispmath]

[dispmath]\Delta=\left|\begin{matrix}
1 & m \\
m & 1
\end{matrix}\right|=1-m^2=\left(1-m\right)\left(1+m\right)={\color{red}-}\left(m-1\right)\left(m+1\right)[/dispmath]

I, još nešto:

stevan95 je napisao:[dispmath]D=0[/dispmath]
Za [inlmath]m=1[/inlmath] [dispmath]\left({\color{red}\frac{1}{x+1}},3-\frac{1}{x+1}\right)[/dispmath]

Ne treba u konačnom rešenju da ostavljaš [inlmath]\frac{1}{x+1}[/inlmath], to je isto što i [inlmath]t[/inlmath]. Umesto toga, samo napiši [inlmath]x[/inlmath] (jer, jedna od promenljivih u ovom rešenju treba da bude „fiksirana“ – a to je ovde [inlmath]x[/inlmath]), a [inlmath]y[/inlmath] napišeš preko tog [inlmath]x[/inlmath], kao što si i napisao. Znači:
[dispmath]m=1\quad\Rightarrow\quad\left(x,y\right)=\left(x,3-\frac{1}{x+1}\right)[/dispmath]

Sistem jednačina je:
[dispmath]t+my=2m+1\\
mt+y=2m+1[/dispmath]
Determinanta sistema je:
[dispmath]D_s=\begin{vmatrix} 1 & m\\ m & 1\\ \end{vmatrix}=1-m^2=(1-m)(1+m)[/dispmath]
Determinate promenljivih su:
[dispmath]D_t=\begin{vmatrix} 1+2m & m\\ 1+2m & 1\\ \end{vmatrix}=1+2m-m(1+2m)=(1+2m)(1-m)[/dispmath][dispmath]D_y=\begin{vmatrix} 1 & 2m+1\\ m & 2m+1\\ \end{vmatrix}=2m+1-m(2m+1)=(1-m)(2m+1)[/dispmath]

Možeš primetiti još i to da, zbog simetrije jednačina
[dispmath]t+my=2m+1[/dispmath][dispmath]mt+y=2m+1[/dispmath]
u odnosu na promenljive [inlmath]t[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], dobijamo ista rešenja za [inlmath]t[/inlmath] i za [inlmath]y[/inlmath] u zavisnosti od parametra [inlmath]m[/inlmath].
Čak i u slučaju [inlmath]m=1[/inlmath], kada se dobije da je [inlmath]y=3-t[/inlmath], da smo kojim slučajem [inlmath]y[/inlmath] „fiksirali“ a [inlmath]t[/inlmath] izrazili preko [inlmath]y[/inlmath], dobili bismo istu zavisnost, [inlmath]t=3-y[/inlmath].
Sve je to, dakle, posledica te simetrije jednačina.

Ili, oduzimanjem te dve jednačine:
[dispmath]t+my-(mt+y)=t- y-m(t-y)=(t-y)(1-m)=0[/dispmath]
Za [inlmath]m\neq1[/inlmath] je [inlmath]t=y[/inlmath] pa je [inlmath]y+my=2m+1[/inlmath] i [inlmath]y(1+m)=2m+1[/inlmath].

Otuda je:
[dispmath]y=t=\frac{2m+1}{m+1}[/dispmath]