MATEMANIJA

[dispmath]\frac{\sqrt{a+\sqrt b}+\sqrt{a-\sqrt b}}{\sqrt{a+\sqrt b}-\sqrt{a-\sqrt b}}[/dispmath]
Rešenje:[dispmath]\frac{\sqrt b ( a+\sqrt{a^2-b )}}{b}[/dispmath]

Imenilac predstavlja razliku korena, pa bi, da tako kažem, „prva faza“ racionalizacije bila da brojilac i imenilac pomnožimo zbirom tih korena, pri čemu ćemo u imeniocu dobiti razliku kvadrata tih korena, pa će se koreni i kvadrati kratiti:
[dispmath]\frac{\sqrt{a+\sqrt b}+\sqrt{a-\sqrt b}}{\sqrt{a+\sqrt b}-\sqrt{a-\sqrt b}}\cdot\frac{\sqrt{a+\sqrt b}+\sqrt{a-\sqrt b}}{\sqrt{a+\sqrt b}+\sqrt{a-\sqrt b}}[/dispmath]
Takođe, izraz u brojiocu će posle ovog množenja biti kvadrat zbira:
[dispmath]\frac{\left(\sqrt{a+\sqrt b}+\sqrt{a-\sqrt b}\right)^2}{a+\sqrt b-a+\sqrt b}[/dispmath]
To je, dalje, jednako
[dispmath]\frac{\left(a+\sqrt b\right)+2\sqrt{\left(a+\sqrt b\right)\left(a-\sqrt b\right)}+\left(a-\sqrt b\right)}{2\sqrt b}=\frac{2a+2\sqrt{a^2-b}}{2\sqrt b}=\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{\sqrt b}[/dispmath]
Sada, u „drugoj fazi“ racionalizacije, da bismo se oslobodili ovog [inlmath]\sqrt b[/inlmath] iz imenioca, množimo i brojilac i imenilac sa [inlmath]\sqrt b[/inlmath]:
[dispmath]\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{\sqrt b}\cdot\frac{\sqrt b}{\sqrt b}=\frac{\sqrt b\left(a+\sqrt{a^2-b}\right)}{b}[/dispmath]
što i jeste rešenje koje treba da se dobije.