MATEMANIJA

[dispmath]x^3-6x^2+ax-6=0[/dispmath]dato je jedno resenje [dispmath]x=3[/dispmath] naci ostala dva,treba mi pomoc oko ovog zadatka,i na koji nacin se resavaju kubne jednacine ?

Kubna jednačina se rešava ovako. Ali, ne brini, to ti uopšte nije potrebno za ovaj zadatak.

Data ti je jedna nula ovog polinoma, to je [inlmath]x=3[/inlmath]. Prema tome, jedan od faktora tog polinoma je [inlmath]\left(x-3\right)[/inlmath].
To znači da taj polinom [inlmath]3.[/inlmath] stepena možemo podeliti njegovim faktorom [inlmath]\left(x-3\right)[/inlmath] i dobićemo polinom [inlmath]2.[/inlmath] stepena, tj. kvadratnu jednačinu, koju već nije problem da rešiš.

Imaš dva načina kako možeš rešavati.

Prvi način: uvrstiš [inlmath]x=3[/inlmath] u jednačinu [inlmath]x^3-6x^2+ax-6=0[/inlmath] i odatle nađeš koliko je [inlmath]a[/inlmath]. Vrednost koju si dobio uvrstiš umesto [inlmath]a[/inlmath] u polinom [inlmath]x^3-6x^2+ax-6[/inlmath] i zatim ga podeliš njegovim faktorom [inlmath]\left(x-3\right)[/inlmath], nakon čega ćeš kao rezultat dobiti kvadratni polinom, kojem nađeš nule i to će biti preostala dva rešenja date jednačine.

Drugi način (zapravo, isti kao i prvi, samo drugačiji redosled): Podeliš polinom [inlmath]x^3-6x^2+ax-6[/inlmath] njegovim faktorom [inlmath]\left(x-3\right)[/inlmath], pri čemu znaš da ostatak tog deljenja mora biti nula. Ostatak će biti neki izraz u kojem figuriše [inlmath]a[/inlmath]. Izjednačiš taj izraz, dakle, s nulom i odatle nađeš koliko je [inlmath]a[/inlmath]. Zatim tu vrednost uvrstiš umesto [inlmath]a[/inlmath] u rezultat tog deljenja (neki kvadratni polinom), nakon čega nađeš njegove nule, koje će predstavljati preostala dva rešenja date jednačine...

Deljenje polinoma (ako ga ne znaš ili ako treba da ga se podsetiš) objašnjeno je u ovoj temi.

Treba da dobiješ da je [inlmath]a=11[/inlmath], a preostala dva rešenja su [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath].

Hvala uradio sam na prvi nacin zadatak,deljenje poliinoma ne predstavlja problem,ali ovo resavanja kubnih jednacina mi je malo komplikovano )

Može i ovako?

Treći način:
[dispmath]x^3-6x^2+ax-6=0[/dispmath][dispmath]x_1=3[/dispmath][dispmath]A_0=1\\
A_1=-6\\
A_2=a\\
A_3=-6\\[/dispmath][dispmath]x_1+x_2+x_3=-\frac{A_2}{A_1}\\
x_1+x_2+x_3=6\\
3+x_2+x_3=6\\
\enclose{box}{x_2=3-x_3}[/dispmath][dispmath]x_1x_2x_3=(-1)^3\frac{A_3}{A_0}\\
x_1x_2x_3=6\\
3(3-x_3)x_3=6\\
(9-3x_3)x_3=6\\
-3x^2_3+9x_3-6=0\;/:(-3)\\
x^2_3-3x_3+2=0[/dispmath][dispmath]x_{2,3}=\frac{3\pm\sqrt{9-8}}{2}=\frac{3\pm 1}{2}\\[/dispmath][dispmath]x_2=2\\
x_3=1[/dispmath]
Parametar [inlmath]a[/inlmath] je lako naći zamenjivanjem bilo kog od rešenja u ovu jednačinu.

Da, a i nije ga neophodno naći, budući da se u zadatku ne traži parametar [inlmath]a[/inlmath], već samo ta preostala dva rešenja.

Zanimljiv ovaj način s Vietovim vezama.