MATEMANIJA

Za koje vrednosti [inlmath]a\in\mathbb{R}[/inlmath] i [inlmath]b\in\mathbb{R}[/inlmath] jednacina [inlmath]ax^2-x+b=0[/inlmath] ima tacno jedno realno resenje [inlmath]x=x_0[/inlmath] za koje vazi [inlmath]2x_0=x^2 _0[/inlmath] ? problem je u tome sto ja resavajuci dobijem da je [inlmath]a=\frac{1}{4}[/inlmath] i [inlmath]b=1[/inlmath], ali oni u resenju navode jos kao resenje i [inlmath]a=b=0[/inlmath], ovo resenje ja mogu da dobijem ako ubacim umesto [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] nule i zaista dobije se jedno resenje za koje vazi to sto oni traze. i jos kao resenje navode [inlmath]a=0[/inlmath] i [inlmath]b=2[/inlmath], za koje nemam poojma kako su dobili ako moze samo pomoc oko tog poslednjeg resenja, kao i tog za [inlmath]a=b=0[/inlmath] jer ne znam jel se to tako radi, cisto ubacivanjem.

Pre nego što primeniš formulu za rešavanje kvadratne jednačine, potrebno je da diskutuješ za koje vrednosti parametara će ta jednačina uopšte biti kvadratna.
Da bi jednačina bila kvadratna, potrebno je da koeficijent uz kvadratni član, tj. u ovom slučaju [inlmath]a[/inlmath], bude različit od nule. U suprotnom, jednačina je linearna.

Za slučaj [inlmath]a\ne 0[/inlmath] dobije se rešenje koje si i ti dobio: [inlmath]a=\frac{1}{4}[/inlmath] i [inlmath]b=1[/inlmath].

Međutim, za slučaj [inlmath]a=0[/inlmath] imamo linearnu jednačinu [inlmath]-x+b=0[/inlmath], tj. [inlmath]x=b[/inlmath]. Uvrštavanjem [inlmath]x_0=b[/inlmath] u uslov [inlmath]2x_0=x_0^2[/inlmath] koji rešenje treba da zadovolji, dobijamo [inlmath]2b=b^2[/inlmath]:
[dispmath]2b=b^2\quad\Rightarrow\quad b^2-2b=0\quad\Rightarrow\quad b\left(b-2\right)=0\quad\Rightarrow\quad b=0\;\lor\;b=2[/dispmath]
Pošto je uslov ovog slučaja [inlmath]a=0[/inlmath], rešenja ovog slučaja su [inlmath]\left(a,b\right)=\left(0,0\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(a,b\right)=\left(0,2\right)[/inlmath].

hvala skroz sam zaboravio za taj uslov