MATEMANIJA

[dispmath]\left(9+4\cdot\sqrt 5\right)^{x^2}+\left(9-4\cdot\sqrt 5\right)^{x^2}=18[/dispmath]
Zbir kvadrata svih rešenja jednačine?

Moze pomoc oko ovog zadatka? Meni ispadnu resenja [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] a onda je rezutat [inlmath]2[/inlmath].
Ali pise da je rezultat [inlmath]0[/inlmath].

Hvala!

Rešimo jednačinu:
[dispmath]\left(9+4\cdot\sqrt 5\right)^t+\left(9-4\cdot\sqrt 5\right)^t=18[/dispmath]
[dispmath]\left(9+4\cdot\sqrt 5\right)^t+\left(\frac{1}{9+4\cdot\sqrt 5}\right)^t=18[/dispmath]
Smenom:
[dispmath]\left(9+4\cdot\sqrt 5\right)^t=m[/dispmath]
[dispmath]m+\frac 1m=18[/dispmath]
Rešavanjem kvadratne jednačine:
[inlmath]m_{1,2}=9\pm 4\sqrt{5}[/inlmath]

Vraćanjem smene:
[dispmath]\left(9+4\cdot\sqrt 5\right)^t=9\pm 4\sqrt{5}[/dispmath]
Dobija se [inlmath]t_{1,2}=\pm 1[/inlmath]

Dalje je [inlmath]x^2=1[/inlmath] ili [inlmath]x^2=-1[/inlmath]. Iz prve jednačine se dobije [inlmath]x_{1,2}=\pm 1[/inlmath], iz druge [inlmath]x_{3,4}=\pm i[/inlmath]

Suma:
[dispmath]{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2+{x_4}^2=1+1-1-1=0[/dispmath]
Sve u svemu, rešenja koja si našla jesu dobra, ali ih ima još. U postavci zadatka se kaže da se mora naći zbir kvadrata svih rešenja, a ne zbir kvadrata realnih rešenja. Na skupu kompleksnih brojeva ima 4 rešenja, i zbir njihovih kvadrata zaista daje ono rešenje koje se i očekuje.

Ijaooo, uopste nisam videla da ne pise svih REALNIH resenja. Hvala mnogo!