MATEMANIJA

Pišem rešenje ovog zadatka, kako biste mi rekli gde grešim (imam rešenje zadatka, ali mi nije jasno zašto ovaj postupak ne daje tačno rešenje):

Neka su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] rešenja nejednačine [inlmath](a-1)x^2+ax+2=0[/inlmath], gde je [inlmath]a[/inlmath] realan parametar. Skup svih vrednosti [inlmath]a[/inlmath] za koje su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] realni i međusobno različtiti brojevi iz intervala [inlmath](1,2)[/inlmath] je:

Budući da se radi o realnim i različitim rešenjima, pretpostavio sam da važi uslov: [inlmath]D>0[/inlmath]
[dispmath]a=a-1\\
b=a\\
c=2[/dispmath]
[dispmath]D=b^2-4ac=a^2-4\cdot 2\cdot (a-1)>0\\
a^2-8a+8>0[/dispmath]
[dispmath]a=1\\
b=-8\\
c=8[/dispmath]
[dispmath]x_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{64-32}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{32}}{2}=\frac{8\pm 4\sqrt{2}}{2}=4\pm 2\sqrt{2}\\
x_1=4+2\sqrt{2}\approx 6.82\\
x_2=4-2\sqrt{2}\approx 1.18[/dispmath]
[dispmath]x\in\left(-\infty,4-2\sqrt{2}\right)\cup\left(4+2\sqrt{2},+\infty\right)[/dispmath]
Presek sa [inlmath](1,2)[/inlmath]:
[dispmath]x\in (1,1.18)[/dispmath] tj. [dispmath]x\in\left(1,4-2\sqrt{2}\right)[/dispmath]
Po rešenju, tačan odgovor je prazan skup.

Greška ti je obeležena crvenom.

stevan95 je napisao:[dispmath]a^2-8a+8>0[/dispmath]
[dispmath]a=1\\
b=-8\\
c=8[/dispmath]
[dispmath]{\color{red}x}_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{64-32}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{32}}{2}=\frac{8\pm 4\sqrt{2}}{2}=4\pm 2\sqrt{2}[/dispmath]

Znači, rešavao si kvadratnu nejednačinu po [inlmath]a[/inlmath], ali si kao rešenje napisao [inlmath]x[/inlmath].
Prema tome, svuda u daljem postupku umesto [inlmath]x[/inlmath] treba da stoji [inlmath]a[/inlmath].

---

I, još nešto. Zaista nema potrebe, prilikom rešavanja kvadratne jednačine, da radiš ovoliko postupno, u smislu da pišeš čemu je jednako [inlmath]a[/inlmath], čemu [inlmath]b[/inlmath], čemu [inlmath]c[/inlmath]. Treba da budeš dovoljno uvežban da, čim vidiš jednačinu [inlmath](a-1)x^2+ax+2=0[/inlmath], možeš odmah u sledećem potezu da napišeš čemu je jednaka diskriminanta: [inlmath]D=a^2-8\left(a-1\right)[/inlmath]. Ovako preteranom postupnošću napravio si mali paradoks, kad si napisao [inlmath]a=a-1[/inlmath], što u programiranju ne bi bilo ništa neobično, ali u matematici jeste, i to poprilično. Naravno, jasno je da u toj jednakosti [inlmath]a[/inlmath] na levoj strani ne predstavlja isto što i [inlmath]a[/inlmath] na desnoj, ali onda uvek treba izbegavati pisanje različitih veličina istom oznakom.

Hahaha pa dobro sad

Pored tih gresaka, vidis li neku koja bi ukazivala na to što mi je rezultat različit od onog u rešenju?

Pazi, ti si našao interval u kojem mora biti [inlmath]a[/inlmath] da bi jednačina imala realna rešenja. Tebi, je uporedo s tim, zadat interval u kojem moraju biti vrednosti rešenja, tj. [inlmath]x[/inlmath]. To su potpuno odvojene stvari, nemaš baš nijedan razlog da tražiš taj presek.

Upravo tako, malo sam se loše izrazio kad sam rekao da svuda u daljem postupku umesto [inlmath]x[/inlmath] treba da stoji [inlmath]a[/inlmath] – kada bi zaista svuda umesto [inlmath]x[/inlmath] stavio [inlmath]a[/inlmath], ispravno bi dobio interval u kojem treba da se nalazi [inlmath]a[/inlmath] da bi rešenja bila realna i različita, tj. [inlmath]a\in\left(-\infty,4-2\sqrt{2}\right)\cup\left(4+2\sqrt{2},+\infty\right)[/inlmath], međutim, nakon toga bi ispalo da uslov pripadnosti intervalu [inlmath]\left(1,2\right)[/inlmath] postavljaš za [inlmath]a[/inlmath] umesto za [inlmath]x[/inlmath]. Zbog toga je, kao što Milovan reče, pogrešno tražiti presek intervala [inlmath]\left(-\infty,4-2\sqrt{2}\right)\cup\left(4+2\sqrt{2},+\infty\right)[/inlmath] (u kojem treba da se nalazi [inlmath]a[/inlmath]) i intervala [inlmath]\left(1,2\right)[/inlmath] (u kojem treba da se nalazi [inlmath]x[/inlmath]).