MATEMANIJA

Da li je ovo tačno il' treba još neki uslov da se ispuni?
[dispmath]\underline{(x-1)\sqrt{x^2-x-2}>0}[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{ll}
\hspace{4.8cm}(1)\quad & x-1>0\;\Longrightarrow\;x>1\\ \\
\hspace{4.8cm}(2)\quad & x^2-x-2>0\;\Longrightarrow\;x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)
\end{array}[/dispmath]
[dispmath](1)\cap (2)\;\Longrightarrow\;x\in(2,+\infty)[/dispmath]

Skoro pa dobro. Koren je pozitivan svakako, a da bi proizvod istog sa [inlmath]x-1[/inlmath] bio pozitivan, mora da važi uslov (1). Da bi koren bio definisan potkorena veličina mora da bude veća ili jednaka od nule (dakle ne strogo veća, kao što si ti radio), što je malo izmenjeni uslov (2).

Promaklo tokom kucanja.

Rešenje u zbirci uključuje i [inlmath]-1[/inlmath], ali ne znam kojom logikom... biće da je greška. Zahvaljujem.

Uvrstiš [inlmath]x=-1[/inlmath] u nejednačinu i vidiš da li je zadovoljena.

Za [inlmath]x=-1[/inlmath] leva strana nejednačine biće jednaka nuli. To znači, [inlmath]x=-1[/inlmath] bi bilo rešenje ako bismo imali ne znak [inlmath]>[/inlmath], već znak [inlmath]\ge[/inlmath].

Hm, sad tek videh, mada je i meni, na prvo čitanje, promaklo isto što i Milovanu. Ipak je potrebno da potkorena veličina bude strogo veća od nule (kako si ti i napisao), jer, kada bi bila nula, tada bi i vrednost korena bila nula, pa bi i cela leva strana nejednačine bila nula. A tada stroga nejednakost ne bi bila zadovoljena. Dakle, ipak si dobro napisao svoje rešenje.

A ako bi u nejednačini, dakle, stajao znak [inlmath]\ge[/inlmath], tada bi rešenje bilo [inlmath]x\in\left\{-1\right\}\cup\left[2,+\infty\right)[/inlmath].

Najškolskiji (tj. najpostupniji) mogući postupak bi, zapravo, izgledao ovako (za slučaj da je zadata jednačina sa strogom nejednakošću):
[dispmath]\left(x-1\right)\sqrt{x^2-x-2}>0[/dispmath]
Uslov: [inlmath]x^2-x-2\ge 0\quad\Rightarrow\quad\underline{x\in\left(-\infty,-1\right]\cup\left[2,+\infty\right)}[/inlmath]
[dispmath]\left(x-1>0\quad\land\quad\sqrt{x^2-x-2}>0\right)\quad\lor\quad\left(x-1<0\quad\land\quad\sqrt{x^2-x-2}<0\right)[/dispmath][dispmath]\left(x>1\quad\land\quad\sqrt{x^2-x-2}>0\right)\quad\lor\quad\left(x<1\quad\land\quad\cancelto{\bot}{\sqrt{x^2-x-2}<0}\right)[/dispmath][dispmath]\left[x>1\quad\land\quad\lnot\left(\sqrt{x^2-x-2}\le 0\right)\right]\quad\lor\quad\cancelto{\bot}{\left(x<1\quad\land\quad\bot\right)}[/dispmath][dispmath]\left[x>1\quad\land\quad\lnot\left(\cancelto{\bot}{\sqrt{x^2-x-2}<0}\quad\lor\quad\sqrt{x^2-x-2}=0\right)\right]\quad\lor\quad\bot[/dispmath][dispmath]x>1\quad\land\quad\lnot\left(\bot\quad\lor\quad\sqrt{x^2-x-2}=0\right)[/dispmath][dispmath]x>1\quad\land\quad\lnot\left(\sqrt{x^2-x-2}=0\right)[/dispmath][dispmath]x>1\quad\land\quad\sqrt{x^2-x-2}\ne 0[/dispmath][dispmath]x>1\quad\land\quad x^2-x-2\ne 0[/dispmath][dispmath]x>1\quad\land\quad x\ne -1\quad\land\quad x\ne 2[/dispmath][dispmath]\underline{x>1\quad\land\quad x\ne 2}[/dispmath]
što, u preseku s uslovom definisanosti, [inlmath]x\in\left(-\infty,-1\right]\cup\left[2,+\infty\right)[/inlmath], daje konačan rezultat:
[dispmath]\enclose{box}{x\in\left(2,+\infty\right)}[/dispmath]