MATEMANIJA

Za izraz [inlmath][a(x)]^{f(x)}=[a(x)]^{g(x)}[/inlmath], važe uslovi:
[dispmath](1)\hspace{0.4cm}a(x)=1\\
(2)\hspace{0.4cm}f(x)=g(x)[/dispmath] Šta tačno predstavljaju ovi uslovi?

Ovo znači: da bi jednakost važila ili moraju biti jednaki eksponenti (uslov [inlmath]2[/inlmath]) ili da broj koji se stepenuje bude [inlmath]1[/inlmath].

Što je logično, ako je osnova različita od [inlmath]1[/inlmath], da bi jednakost važila, stepeni se moraju poklapati. Ako se stepeni ne poklapaju, a jednakost važi, onda je [inlmath]a(x)=1[/inlmath].

Ja bih tu dodao još dve mogućnosti:
[dispmath]\begin{array}{ll}
\left(3\right) & a\left(x\right)=0\\
\left(4\right) & a\left(x\right)=-1\;\land\;\left[f\left(x\right),g\left(x\right)\text{ parni}\;\lor\;f\left(x\right),g\left(x\right)\text{ neparni}\right]
\end{array}[/dispmath] [inlmath](3)[/inlmath] zbog toga što i nula dignuta na bilo koji stepen ostaje nula, a [inlmath](4)[/inlmath] zbog toga što [inlmath]-1[/inlmath], ako se digne na bilo koji parni eksponent, postaje [inlmath]1[/inlmath], a ako se digne na bilo koji neparni eksponent, ostaje [inlmath]-1[/inlmath].

Dopuna stoji, mada msm da su tu razmatrali eksponencijalne jednačine u kontekstu eksponencijalnih funkcija, pa se uzima da je osnova [inlmath]a>0[/inlmath].

Da, naveli su da je osnova veća od nule, ali sjajno je to što sad znam i za ova dva slučaja.
*expanding consciousness*

Rešiti jednačine:
[dispmath](1)\hspace{0.4cm}\left|x\right|^{x^2-2x}=1\\
(2)\hspace{0.4cm}(x-3)^{x^2-x}=(x-3)^2\\
(3)\hspace{0.4cm}(x^2-x-2)^{x^2-4}=1\\[/dispmath] Nisam uspeo da nađem sve uslove za rešavanje ovih jednačina. U rešenjima za jednačinu [inlmath](2)[/inlmath] stoje uslovi: [inlmath]x-3=1\;\lor\;(x-3=0\;\land\;x^2-x\neq0)\;\lor\;(x-3\neq0\;\land\;x^2-x=2)[/inlmath].
Mislim da konjukcija [inlmath]x-3=0\;\land\;x^2-x\neq0[/inlmath] nije tačna, jer u slučaju da je [inlmath]x^2-x<0[/inlmath] dobijamo [inlmath]\frac{1}{0}=0[/inlmath].

Prvo: Dobro nam došao na forum.
Drugo: Novi zadatak nova tema. Ovo takođe znači i jedan zadatak jedna tema.
Treće: Zašto misliš da konjunkcija (sa n) nije tačna? Imaš uslov [inlmath]x-3=0[/inlmath], što znači da postoji samo jedna moguća vrednost za [inlmath]x[/inlmath]. Zameni tu vrednost u drugi izraz i proveri da li će izraz biti tačan ili ne.

Izvinjavam se. Recimo da u jednacini [inlmath](2)[/inlmath] umesto broja [inlmath]-3[/inlmath] stoji [inlmath]+1[/inlmath], onda bi po ovome sto je stajalo u resenju, konjunkcija [inlmath]x+1=0\;\land\;x^2-x\neq0[/inlmath] bila resenje jednacine. Kada zamenimo nepoznatu jednacine [inlmath](2)[/inlmath] sa resenjem [inlmath]-1[/inlmath], dobijamo jednakost [inlmath]\frac{1}{0^2}=0[/inlmath] koja je nemoguca. Mislim da bi kod date konjunkcije umesto [inlmath]x^2-x\neq0[/inlmath] trebalo da stoji [inlmath]x^2-x>0[/inlmath] jer za bazu [inlmath]0[/inlmath] negativan eksponent je nesto sto nema smisla.

Pokusavam da zakljucim na osnovu resenja kako se rade slicni zadaci ali mi ne ide . Pogresna terminologija, konjunkcija vazi samo za primer [inlmath](2)[/inlmath], to je ono sto sam hteo da kazem.

miletrans je napisao:Drugo: Novi zadatak nova tema. Ovo takođe znači i jedan zadatak jedna tema.

Mislim da se ovde to može tolerisati, budući da je ovaj zadatak vrlo sličan ovom prethodnom kojim je tema započeta. Ne smeta da se nađu u istoj temi.
Što se druge primedbe tiče, koliko sam ja shvatio, ovde je u pitanju jedan zadatak s tri različite jednačine (ali koje se rešavaju po sličnom principu).

@Guts404, dobrodošlica i od mene, s tim da bih te uputio da pročitaš Pravilnik foruma kako se ne bi ubuduće dešavale početničke greške (u koje ubrajam i nepotrebno citiranje celog prethodnog posta). U svakom slučaju, pohvalno je što već od prvog posta koristiš Latex.

miletrans je napisao:Treće: Zašto misliš da konjunkcija (sa n) nije tačna? Imaš uslov [inlmath]x-3=0[/inlmath], što znači da postoji samo jedna moguća vrednost za [inlmath]x[/inlmath]. Zameni tu vrednost u drugi izraz i proveri da li će izraz biti tačan ili ne.

Mislim da u ovom zadatku nije toliko naglasak na konkretnim brojnim vrednostima, koliko na uočavanju nekih uslova i slučajeva koji se mogu univerzalno primeniti na zadatke ovog tipa.

Da, @Guts404, dobro si uočio da u pomenutoj konjunkciji treba da stoji [inlmath]x^2-x>0[/inlmath]. Takođe, ovde nije nabrojan još jedan mogući slučaj – da su baze jednake [inlmath]-1[/inlmath] i da je [inlmath]x^2-x[/inlmath] paran broj (slično onome što već i napisah ranije u ovoj temi).