MATEMANIJA

Primer 14:
[dispmath]25^x+4(a-1)5^x+a>1[/dispmath]
Uveo sam smenu [inlmath]t=5^x[/inlmath] i rešio kvadratnu nejednačinu, ali ne razumem kako da u taj račun uključim činjenicu da je nepoznata u eksponentu?

Svakako, samo naznake mi trebaju, ne i rešenje zadatka – rešenje ću postaviti kad budem skontao zadatak.



Matematika za prijemni ispit na tehničkim i prirodno matematičkim fakultetima (Jovanov, Lazović, Đorić)

Pošto je [inlmath]t=5^x[/inlmath], a [inlmath]5^x>0[/inlmath], treba da postaviš uslov da je [inlmath]t>0[/inlmath].

Zatim diskutuješ vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath]. Pre svega, za vrednosti [inlmath]a[/inlmath] za koje je diskriminanta manja od nule, kvadratna nejednačina će uvek biti zadovoljena.

Za slučaj [inlmath]D\ge0[/inlmath], za nule kvadratne nejednačine trebalo bi da si dobio
[dispmath]t_1=2\left(1-a\right)-\sqrt{4a^2-9a+5}\\
t_2=2\left(1-a\right)+\sqrt{4a^2-9a+5}[/dispmath]
(naravno, vidi se da je [inlmath]t_1\le t_2[/inlmath]).
Da bi nejednačina bila zadovoljena, mora biti [inlmath]t<t_1\;\lor\;t>t_2[/inlmath].

I onda imaš tri moguća slučaja, u zavisnosti od vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath].

[inlmath]I\quad t_1\le0\;\land\;t_2\le0[/inlmath] – ovo se, zbog uslova [inlmath]t>0[/inlmath], svodi na [inlmath]t>0[/inlmath];

[inlmath]II\quad t_1\le0\;\land\;t_2>0[/inlmath] – ovo se, zbog uslova [inlmath]t>0[/inlmath], svodi na [inlmath]t>t_2[/inlmath];

[inlmath]III\quad t_1>0\;\land\;t_2>0[/inlmath] – ovo se, zbog uslova [inlmath]t>0[/inlmath], svodi na [inlmath]0<t<t_1\;\lor\;t>t_2[/inlmath].

Prilikom ispitivanja ovih uslova, dobićeš da je [inlmath]t_1\le0[/inlmath] uvek zadovoljeno, tj. da nikad nije zadovoljeno [inlmath]t_1>0[/inlmath], što će ti, bar donekle, uprostiti rešenje.

Dosta zeznut zadatak i teško je dati neko uputstvo a da bude kratko... Ako ti zapne, pitaj, pa ćemo dodatno izdetaljisati...

Inače, pri rešavanju ovog zadatka, pojednostavićeš postupak računanja ako u kvadratnoj nejednačini [inlmath]t^2+4\left(a-1\right)t+a-1>0[/inlmath] uvedeš smenu [inlmath]a-1=b[/inlmath], svedeš time nejednačinu na [inlmath]t^2+4bt+b>0[/inlmath] pa onda kroz ceo dalji postupak diskutuješ po parametru [inlmath]b[/inlmath]. Tek na samom kraju vratiš smenu [inlmath]a=b+1[/inlmath]...

Napisaću postupak, pošto je ipak malo komplikovaniji zadatak.
Znači, posle smene [inlmath]5^x=t[/inlmath] (uz uslov [inlmath]t>0[/inlmath]) i [inlmath]a-1=b[/inlmath], sveli smo nejednačinu na [inlmath]t^2+4bt+b>0[/inlmath].

[inlmath]I[/inlmath] slučaj [inlmath]D<0[/inlmath]
Kada je diskriminanta ove kvadratne funkcije manja od nule, parabola neće imati preseke s [inlmath]x[/inlmath]-osom i biće iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose, tako da će vrednost te funkcije biti pozitivna za svako [inlmath]t[/inlmath]:


[dispmath]D<0[/dispmath][dispmath]16b^2-4b<0[/dispmath][dispmath]b\left(4b-1\right)<0[/dispmath][dispmath]\underline{0<b<\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad t>0}\quad\left(1\right)[/dispmath]
[inlmath]II[/inlmath] slučaj [inlmath]D\ge0[/inlmath] (uslov: [inlmath]b\le0\;\lor\;b\ge\frac{1}{4}[/inlmath])
Da bi kvadratna funkcija bila pozitivna, mora biti [inlmath]t<t_1\;\lor\;t>t_2[/inlmath].
Ovim razmatranjem ćemo obuhvatiti i slučaj kada je [inlmath]D=0[/inlmath], tj. kada parabola dodiruje [inlmath]x[/inlmath] osu, pri čemu je [inlmath]t_1=t_2[/inlmath].
Razlikujemo tri podslučaja:
[inlmath]1)\;t_1\le0,\;t_2\le0[/inlmath] (slika 1) – zbog uslova [inlmath]t>0[/inlmath], ovaj slučaj se svodi na [inlmath]t>0[/inlmath];
[inlmath]2)\;t_1\le0,\;t_2>0[/inlmath] (slika 2) – zbog uslova [inlmath]t>0[/inlmath], ovaj slučaj se svodi na [inlmath]t>t_2[/inlmath];
[inlmath]3)\;t_1>0,\;t_2>0[/inlmath] (slika 3) – zbog uslova [inlmath]t>0[/inlmath], ovaj slučaj se svodi na [inlmath]0<t<t_1\;\lor\;t>t_2[/inlmath].


[dispmath]t_{1,2}=\frac{-4b\pm\sqrt{16b^2-4b}}{2}=-2b\pm\sqrt{4b^2-b}[/dispmath][dispmath]t_1=-2b-\sqrt{4b^2-b},\qquad t_2=-2b+\sqrt{4b^2-b}[/dispmath]
Može se odmah pokazati da je uvek [inlmath]t_1\le0[/inlmath], na sledeći način: kada je [inlmath]b>0[/inlmath], tada je, sasvim očigledno, [inlmath]t_1<0[/inlmath], jer se od negativne veličine oduzima negativna veličina; kada je [inlmath]b=0[/inlmath], tada je [inlmath]t_1=0[/inlmath]; kada je [inlmath]b<0[/inlmath], tada je:
[dispmath]t_1=-2b-\sqrt{4b^2-b}=\left|2b\right|-\sqrt{4b^2+\left|b\right|}=\sqrt{4b^2}-\sqrt{4b^2+\left|b\right|}<\sqrt{4b^2}-\sqrt{4b^2}=0[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad t_1\le0[/dispmath]
Naravno, postoji i onaj „školskiji“ način dokazivanja,
[dispmath]t_1\le0\\
-2b-\sqrt{4b^2-b}\le0\\
-2b\le\sqrt{4b^2-b}\\
-2b\le0\;\lor\;\cancel{4b^2}\le\cancel{4b^2}-b\\
b\ge0\;\lor\;b\le0\\
b\in\mathbb{R}[/dispmath]
U svakom slučaju, [inlmath]t_1[/inlmath] ne može biti pozitivno, tako da podslučaj [inlmath]3)[/inlmath] automatski otpada. Preostaju podslučaj [inlmath]1)[/inlmath] kada je [inlmath]t_2\le0[/inlmath] i podslučaj [inlmath]2)[/inlmath] kada je [inlmath]t_2>0[/inlmath].

[inlmath]1)\;t_2\le0\quad\Rightarrow\quad t>0[/inlmath]
[dispmath]-2b+\sqrt{4b^2-b}\le0[/dispmath][dispmath]\sqrt{4b^2-b}\le2b[/dispmath][dispmath]b\ge0\;\land\;\cancel{4b^2}-b\le\cancel{4b^2}[/dispmath][dispmath]b\ge0\quad\Rightarrow\quad t>0[/dispmath]
Zbog uslova [inlmath]II[/inlmath] slučaja, koji glasi [inlmath]b\le0\;\lor\;b\ge\frac{1}{4}[/inlmath], ovo se svodi na:
[dispmath]\underline{b=0\;\lor\;b\ge\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad t>0}\quad\left(2\right)[/dispmath]
[inlmath]2)\;t_2>0\quad\Rightarrow\quad t>t_2[/inlmath]
[dispmath]-2b+\sqrt{4b^2-b}>0[/dispmath][dispmath]\sqrt{4b^2-b}>2b[/dispmath][dispmath]b<0\;\lor\;\cancel{4b^2}-b>\cancel{4b^2}[/dispmath][dispmath]b<0\;\lor\;b<0[/dispmath][dispmath]\underline{b<0\quad\Rightarrow\quad t>-2b+\sqrt{4b^2-b}}\quad\left(3\right)[/dispmath]
Objedinjavanjem [inlmath]\left(1\right)[/inlmath], [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(3\right)[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]b<0\quad\Rightarrow\quad t>-2b+\sqrt{4b^2-b}\\
b\ge0\quad\Rightarrow\quad t>0[/dispmath]
tj. kad se vrati smena [inlmath]x=\log_5t[/inlmath] i [inlmath]a=b+1[/inlmath],
[dispmath]a<1\quad\Rightarrow\quad x>\log_5\left[-2\left(a-1\right)+\sqrt{4\left(a-1\right)^2-\left(a-1\right)}\right]\\
a\ge1\quad\Rightarrow\quad x\in\mathbb{R}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{\begin{matrix}
a<1\quad\Rightarrow\quad x>\log_5\left(2-2a+\sqrt{4a^2-9a+5}\right)\\
a\ge1\quad\Rightarrow\quad x\in\mathbb{R}
\end{matrix}}[/dispmath]

A pade mi na pamet i još jedan, „grafičkiji“ način.

Pošto smo uveli smenu [inlmath]5^x=t[/inlmath] i [inlmath]a-1=b[/inlmath], rešavanjem nejednačine [inlmath]t^2+4bt+b>0[/inlmath] po [inlmath]b[/inlmath], dobijamo
[dispmath]-\frac{t^2}{4t+1}<b[/dispmath]
I sada levu stranu nejednačine posmatramo kao jednu funkciju, [inlmath]f_1\left(t\right)[/inlmath], a drugu stranu nejednačine posmatramo kao drugu funkciju, [inlmath]f_2\left(t\right)[/inlmath]:
[dispmath]f_1\left(t\right)=-\frac{t^2}{4t+1}\\
f_2\left(t\right)=b[/dispmath]
Ispitamo funkciju [inlmath]f_1\left(t\right)[/inlmath] i nađemo njen grafik; grafik funkcije [inlmath]f_2\left(t\right)[/inlmath], pošto je jednaka konstanti, biće prava paralelna [inlmath]t[/inlmath]-osi, na rastojanju [inlmath]b[/inlmath] od [inlmath]t[/inlmath]-ose.

Pri tome je [inlmath]f_1\left(t\right)<f_2\left(t\right)[/inlmath], što znači da će jednačina biti zadovoljena za one vrednosti [inlmath]t[/inlmath] za koje je kriva funkcije [inlmath]f_1\left(t\right)[/inlmath] ispod prave [inlmath]f_2\left(t\right)=b[/inlmath].

Posmatramo samo deo grafika desno od ordinate, pošto je prilikom smene [inlmath]5^x=t[/inlmath] postavljen uslov [inlmath]t>0[/inlmath]:


Promenom parametra [inlmath]b[/inlmath], prava [inlmath]f_2\left(t\right)=b[/inlmath] će se „šetati“ gore-dole. Uočavamo da se za [inlmath]b\ge0[/inlmath] kriva funkcije [inlmath]f_1\left(t\right)[/inlmath] nalazi ispod prave [inlmath]f_2\left(t\right)=b[/inlmath] za svako [inlmath]t[/inlmath], što znači da je tada nejendačina uvek zadovoljena.
Za [inlmath]b<0[/inlmath] nejednačina će biti zadovoljena za one vrednosti [inlmath]t[/inlmath] za koje se kriva funkcije [inlmath]f_1\left(t\right)[/inlmath] nalazi ispod prave [inlmath]f_2\left(t\right)=b[/inlmath], a to određujemo iz nejednačine
[dispmath]-\frac{t^2}{4t+1}<b[/dispmath]
koju zatim rešimo po [inlmath]t[/inlmath]. Posle vraćanja smena dobijamo isto rešenje kao i na prethodni način.