MATEMANIJA

Evo još jednog zadatka sa eksponencijalnim jednačinama, doduše ovaj sam uspeo da uradim, ali mi promiče neki uslov, il' šta već.

Zadatak 8:
[dispmath]9^{|3x-1|}=3^{8x-2}\\
\cancel{3}^{2\cdot|3x-1|}=\cancel{3}^{8x-2}\\
\cancelto{1}{2}\cdot|3x-1|=\cancelto{4}{8}x-\cancelto{1}{2}\\
|3x-1|=4x-1[/dispmath]
[dispmath](1)\hspace{1cm}3x-1=4x-1\\
x=0\\[/dispmath][dispmath]\Longrightarrow\;9^1\ne 3^{-2}[/dispmath]

[dispmath](2)\hspace{1cm}-3x+1=4x-1\\
x=\frac{2}{7}\\
\Longrightarrow\;9^{\left|\frac{6}{7}-1\right|}=3^{\frac{16}{7}-2}\\
9^{\left|-\frac{1}{7}\right|}=3^\frac{2}{7}\\
3^\frac{2}{7}=3^\frac{2}{7}[/dispmath]
U rešenju piše da postoji samo jedno rešenje, što se i dobije nakon provere. Ali meni ne bi palo na pamet da proveravam, pa me zanima da li postoji neki uslov u okviru ove jednačine koji bi prvo rešenje automatski eliminisao ili jednostavno uvek treba proveriti rezultat?



Matematika za prijemni ispit na tehničkim i prirodno matematičkim fakultetima (Jovanov, Lazović, Đorić)

Umesto [inlmath]|3x-1|[/inlmath] si u prvom slučaju stavio samo [inlmath]3x-1[/inlmath]. To radiš kada je [inlmath]3x-1>0[/inlmath], tj. [inlmath]x>\frac{1}{3}[/inlmath]. Za rešenje koje dobiješ to ne važi.

U drugom slučaju si umesto [inlmath]|3x-1|[/inlmath] stavio [inlmath]-(3x-1)[/inlmath]. To radiš kada je [inlmath]3x-1\le 0[/inlmath], tj. [inlmath]x \le \frac{1}{3}[/inlmath]. Drugo rešenje to zadovoljava.

A mogao si i, kad si dobio [inlmath]\left|3x-1\right|=4x-1[/inlmath], da napišeš objedinjen uslov koji iz ove jednačine sledi – pošto je leva strana [inlmath]\ge 0[/inlmath], tada mora i desna strana biti [inlmath]\ge 0[/inlmath], tj. [inlmath]4x-1\ge 0\;\Rightarrow\;x\ge\frac{1}{4}[/inlmath] i posle odbacuješ rešenja koja taj uslov ne ispunjavaju.