MATEMANIJA

Zadatak 11:

[dispmath]\log_x2\cdot\log_{2x}2\cdot\log_2{16x}>1\\
\frac{1}{\log_2x} \cdot \frac{1}{\log_2{2x}} \cdot \left(\log_2{16}+\log_2x\right)>1\\
\frac{4+\log_2x}{log_2x\cdot\left(1+\log_2x\right)} >1\\
\frac{4+\log_2x}{\log_2x+\log^2_2x}>1\\[/dispmath]

[dispmath]t=\log_2x[/dispmath]

[dispmath]\frac{4+t}{t+t^2}>1\\
\frac{4+t}{t+t^2}-\frac{t+t^2}{t+t^2}>0\\
\frac{-t^2+4}{t^2+t}>0[/dispmath]

[dispmath]-t^2+4>0\\ t<\pm 2\\
\enclose{box}{t\in (-\infty,-2)\cup(2,+\infty)}[/dispmath]
Vraćamo smenu:
[dispmath]\log_2x=-2\\
x=\frac{1}{4}\\
\log_2x=2\\
x=4[/dispmath]
[dispmath]\enclose{box}{x\in\left(-\infty,\frac{1}{4}\right)\cup\left(4,+\infty\right)}[/dispmath]
Uslovi:

[dispmath]x>0, x\not=1, x\not=\frac{1}{2} \Longrightarrow \enclose{box}{ x\in\left(0,\frac{1}{2}\right)\cup\left(\frac{1}{2},1\right)\cup\left(1,+\infty\right)}[/dispmath]

Presek rešenja i uslova:

[dispmath]\enclose{box}{\enclose{box}{x\in\left(0,\frac{1}{4}\right)\cup\left(4,+\infty\right)}}[/dispmath]

Negde grešim, ali ne vidim gde.

Matematika za prijemni ispit na tehničkim i prirodno matematičkim fakultetima (Jovanov, Lazović, Đorić)

Kako si sa [inlmath]\frac{-t^2+4}{t^2+t}>0[/inlmath] prešao na [inlmath]-t^2+4>0[/inlmath]?
Mogao bi to da uradiš da je za svako [inlmath]t[/inlmath] i [inlmath]t^2+t >0[/inlmath], ali to ne vazi. (probaj recimo [inlmath]t=-\frac{1}{3}[/inlmath]).

Ovu nejednačinu zapiši kao:
[dispmath]\frac{(2-t)(2+t)}{t(t+1)} >0[/dispmath]
Dalje crtaš onu tabelu sa +/- ili razmatraš uslove...

Milovan je napisao:Kako si sa [inlmath]\frac{-t^2+4}{t^2+t}>0[/inlmath] prešao na [inlmath]-t^2+4>0[/inlmath]?

Upravo to... A, osim toga, imaš grešku i ovde,

stevan95 je napisao:[dispmath]-t^2+4>0\\ t<\pm 2\\
\enclose{box}{t\in (-\infty,-2)\cup(2,+\infty)}[/dispmath]

Pravilno rešavanje nejednačine [inlmath]-t^2+4>0[/inlmath] bi bilo
[dispmath]-t^2+4>0\\
t^2<4\quad /\sqrt{\hspace{1ex}}\\
\sqrt{t^2}<\sqrt 4\\
\left|t\right|<2\\
-2<t<2\\
t\in\left(-2,2\right)[/dispmath]